Bài 101658

Question

Cho phương trình: \(x^2+\sqrt{2}mx-m^2+m-1=0 (1)\)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\). Xác định dấu các nghiệm số của phương trình.
b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1},x_{2}\) sao cho \( x^{2}_{1}+x^{2}_{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

Giải
a)
Ta có hệ số \(a=1>0,c=-m^2+m-1=-(m-\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}<0\), từ đó suy ra \(ac<0\), nên phương trình đã cho có hai nghiệm và hai nghiệm của phương trình trái dấu.
b)
Do phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm nên áp dụng hệ thức Vi-ét ta có :\(S=x_{1}+x_{2}=-\sqrt{2}m\);
                \( P=x_{1}.x_{2}=-m^2+m-1\)
       \(\Rightarrow x^{2}_{1}+x^{2}_{2}=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}.x_{2}=2m^2+2m^2-2m+2\)
                                                                   \(=4^2-2m+2=(m-\frac{1}{2})^2\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(m=\frac{1}{2}\).
Kết luận:
Vậy giá trị nhỏ nhất của \( x^{2}_{1}+x^{2}_{2}\) là \(\frac{7}{4} khi \) m=\(\frac{1}{2}\)

Bài 101658

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101658

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan