|
|
$1)$ đặt $a = {4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{co{s^2}x}},a > 0$ ta có :
$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left( {6{y^2} + 2y} \right)a = 25{y^2} + 6y + 1\\
\Leftrightarrow \left( {25 - 6a} \right){y^2} + 2\left( {3 - a} \right)y + 1 = 0
\end{array}$
• Với $a = \frac{{25}}{6}$ ta có $2\left( {3 - \frac{{25}}{6}} \right)y + 1 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,y = \frac{3}{7}$
Khi đó $y\,\sin \,x = \frac{3}{7}\sin \,x = {\log _2}\left| {\frac{{3\sin x}}{{16}}} \right| \le {\log _2}\frac{3}{{16}} < - 2$
$ \Rightarrow \,\,\sin \,x < - \frac{7}{3}.2$ vô lý.
• $a \ne \frac{{25}}{6}:\,\,\,\,\,\Delta ' = {a^2} - 16 \ge 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a \ge 4\,\,\,\,\,\,\left( {a \ne \frac{{25}}{6}} \right)\\
a \le - 4\,\,\,\,(l)
\end{array} \right.$
Suy ra : ${y_{1,2}} = \frac{{a - 3 \pm \sqrt {{a^2} - 16} }}{{25 - 6a}}$
Hệ phương trình trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l}
y\,\sin \,x = {\log _2}\left| {\frac{{y\,\sin \,x}}{{1 + 3y}}} \right|\\
y = \frac{{{{2.4}^{{{\sin }^2}x}} - 3}}{{25 - 6\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{co{s^2}x}}} \right)}}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$
Hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
y\,\sin \,x = {\log _2}\left| {\frac{{y\,\sin \,x}}{{1 + 3y}}} \right|\\
y = \frac{{{{2.4}^{\cos^2x}} - 3}}{{25 - 6\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{co{s^2}x}}} \right)}}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)$
Xét $(I)$ :
$\begin{array}{l}
{\log _2}\left| {\frac{{y\,\sin \,x}}{{1 + 3y}}} \right| = {\log _2}\left| {\sin \,x} \right| - {\log _2}\left| {3 + \frac{1}{y}} \right|\\
= {\log _2}\left| {\sin \,x} \right| - {\log _2}\left| {3 + \frac{{25 - 6\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{co{s^2}x}}} \right)}}{{{{2.4}^{{{\sin }^2}x}} - 3}}} \right|\\
= {\log _2}\left| {\sin \,x} \right| - {\log _2}{2.4^{\cos^2x}} = {\log _2}\left| {\sin \,x} \right| - 1 - {\log _2}{4^{co{s^2}x}} \le - 1
\end{array}$
Suy ra : $y\,\sin \,x \le - 1$
Mặt khác do $\left| y \right| \le 1\,\, \Rightarrow \,\,\,\left| {y\,\sin \,x} \right| \le 1\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,y\,\sin \,x \ge - 1$
Từ đó suy ra : $\left\{ \begin{array}{l}
y\,\sin \,x = - 1\\
{\log _2}\left| {\sin \,x} \right| - 2co{s^2}x = 0
\end{array} \right.$
Vì $\left\{ \begin{array}{l} \log_2 {|\sin x|}\le 0\\-2\cos^2 x\le 0 \end{array} \right.$ nên hệ tương đương với :
$\left\{ \begin{array}{l}
y\,\sin \,x = - 1\\
{\log _2}\left| {\sin \,x} \right| = 0\\
cos\,x = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\left| {\sin \,x} \right| = 1\\
y\,\sin \,x = - 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sin \,x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
\sin \,x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Thử lại :
- Với $\left\{ \begin{array}{l}
\sin \,x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right.$ thế vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
- 1 = {\log _2}\frac{1}{4}\\
8\left( 5 \right) = 32
\end{array} \right.$
Hệ không thỏa mãn .
- Với $\left\{ \begin{array}{l}
\sin \,x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right.$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
- 1 = {\log _2}\frac{1}{2}\\
4\left( 5 \right) = 20
\end{array} \right.$ hệ thỏa mãn.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
\sin \,x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right.$ thỏa mãn hệ PT
Xét $(II)$ : Giải tương tự ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
y\,\sin \,x = - 1\\
{\log _2}\left| {\sin \,x} \right| = 0\\
\sin x = 0
\end{array} \right.$
Hệ này vô nghiệm.
Vậy : nghiệm của hệ là: $\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
y = - 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in {\rm Z}$
$2)$
Đặt $3^{2+2\sin^4 x} =u(u\ge 9); 3^{2\cos^4x+\sin^2{2x}-4}=v \Rightarrow u.v=1\Rightarrow 0<v=\frac 1 u \le \frac 1 9$
$u+v\ge 2\sqrt{uv}=2$
Ta có: $(y^2+8y)(u+v)=2y^2+16y+64
\\ \Leftrightarrow (2-u-v)(y+4)^2=16(2-u-v)-64 (1)$
Với: $u+v=2\Leftrightarrow u+\frac 1 u=2\Leftrightarrow u=v=1$
thì $(1)\Leftrightarrow 0=-64$ (vô lý), suy ra hệ đã cho vô nghiệm.
Với $u+v\ne 2$ thì $(1) \Leftrightarrow y=-4\pm \sqrt{16-\frac{64}{2-u-v}}=-4(1\pm \sqrt{1-\frac4{2-u-v}})$
$=-4(1\pm \sqrt{1-\frac4{2-u-\frac1 u}})=-4(1\pm \sqrt{\frac{(u+1)^2}{(u-1)^2}})
\\=\left[ \begin{array}{l} 4(\frac{u+1}{u-1}-1)\\ 4(-\frac{u+1}{u-1}-1) \end{array} \right.
=\left[ \begin{array}{l} \frac 8{u-1}\\ \frac8{v-1} \end{array} \right.$
*Với $ y=\frac8{u-1}$:
do $u\ge 9\Rightarrow y\le 1$
theo giả thiết: $y\ge 1$
Suy ra $y=1, u=9,v=\frac 1 9, \sin x=0, |\cos x|=1$
Thử lại: thỏa mãn hệ PT.
*Với $y=\frac8{v-1}$:
do $0<v\le \frac19\Rightarrow y<0$
Mà theo giả thiết thì: $y\ge 1$
Suy ra, hệ vô nghiệm.
ĐS: Vậy nghiệm của hệ PT là $\left\{ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
y = 1
\end{array} \right.,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in {\rm Z}$
|