|
Do $\left| { - x} \right| = \left| x \right|,\,\,{\left( { - x} \right)^2} = {x^2}$nên nếu hệ có $1$ nghiệm là $(x,\,\,y)$thì $( - x,\,y)$cũng là $1$ nghiệm, do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì $x=-x\Leftrightarrow x=0$ Suy ra nghiệm duy nhất phải có dạng $(0,\,\,y)$ Thế vào ta có: $\left\{ \begin{array}{l} 1 + 0 = y + a\\ {y^2} = 1 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ y = - 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ y = 1 \end{array} \right. \end{array} \right.$ Đảo lại: - Với $a = 0$: Hệ trở thành : $\left\{ \begin{array}{l} {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ {x^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array} \right.$ $\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} \left| x \right| \le 1\\ \left| y \right| \le 1 \end{array} \right.\\ {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} = {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right|\left( {1 - \left| x \right|} \right) \end{array}$ Do ${2^{\left| x \right|}} \ge 1$ và $\left| x \right|\left( {1 - \left| x \right|} \right) \ge 0$ nên ${2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} \ge 1$ Phương trình ${2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} = y$ có : $\left\{ \begin{array}{l} {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} \ge 1\\ y \le 1 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} = 1\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 1 \end{array} \right.$ Do $y = 1$ nên ${x^2} + {y^2} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{x^2} = 0\,\,\, \Leftrightarrow x = 0$ Vậy hệ có $1$ nghiệm duy nhất là $(0,\,1)$ - Với $a=2$, hệ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2}+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ {x^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array} \right.$ Dễ thấy hệ có $2$ nghiệm $(x;y)$ là: $(1;0);(0;-1)$ (Không thỏa mãn: hệ có nghiệm duy nhất)
Vậy $a=0$ là giá trị phải tìm.
|