|
|
Do $\left| { - x} \right| = \left| x \right|,\,\,{\left( { - x} \right)^2} = {x^2}$nên nếu hệ có $1$ nghiệm là $(x,\,\,y)$thì $( - x,\,y)$cũng là $1$ nghiệm, do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì $x=-x\Leftrightarrow x=0$
Suy ra nghiệm duy nhất phải có dạng $(0,\,\,y)$
Thế vào ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
1 + 0 = y + a\\
{y^2} = 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
y = - 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Đảo lại:
- Với $a = 0$: Hệ trở thành : $\left\{ \begin{array}{l}
{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\
{x^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| \le 1\\
\left| y \right| \le 1
\end{array} \right.\\
{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} = {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right|\left( {1 - \left| x \right|} \right)
\end{array}$
Do ${2^{\left| x \right|}} \ge 1$ và $\left| x \right|\left( {1 - \left| x \right|} \right) \ge 0$ nên ${2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} \ge 1$
Phương trình ${2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} = y$ có :
$\left\{ \begin{array}{l}
{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} \ge 1\\
y \le 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| - {x^2} = 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 1
\end{array} \right.$
Do $y = 1$ nên ${x^2} + {y^2} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{x^2} = 0\,\,\, \Leftrightarrow x = 0$
Vậy hệ có $1$ nghiệm duy nhất là $(0,\,1)$
- Với $a=2$, hệ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}
{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2}+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\
{x^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{array} \right.$
Dễ thấy hệ có $2$ nghiệm $(x;y)$ là: $(1;0);(0;-1)$ (Không thỏa mãn: hệ có nghiệm duy nhất)
Vậy $a=0$ là giá trị phải tìm.
|