|
|
$1)$ Đặt $u = \,\,{\left( {\ln x} \right)^n}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,du = \,\,\,n{\left( {\ln x} \right)^{n - 1}}\frac{{dx}}{x}$
$dv\,\, = \,\,dx\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,v = x$
${I_n} = \left. {x{{\left( {\ln x} \right)}^n}} \right|_1^e - n\int\limits_1^e {{{\left( {\ln x} \right)}^{n - 1}}dx = e - n} {I_n}$
Ta có: ${I_n} = e - n{I_{n - 1}}$ với mọi $n > 1$
Áp dụng với số nguyên dương $n + 1$ ta có :
${I_{n + 1}} = e - \left( {n + 1} \right){I_n}$ $(1)$
Với $n = 1$ ta có: ${I_1} = \int\limits_1^e {\ln x\,dx} $
Đặt $u = \ln x\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du = \frac{{dx}}{x}$
$dv\,\, = \,\,dx\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,v = x$
Suy ra : ${I_1} = \left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} = e - x |_1^e = 1$
Áp dụng $(1)$ với $n = 1$ ta có:
${I_2} = e - 2{I_1} = e - 2$
Vậy $I_2= e-2\\
I_1= 1$
và $I_{n+1}= e-(n+1)I_n$
$2)$ Vì $1 \le x \le e\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,0 \le \ln x \le 1$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \,\,\,\,0 \le {\left( {\ln x} \right)^{n + 1}} \le {\left( {\ln x} \right)^n}\\
\Rightarrow \,\,\,\,0 \le {I_{n + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \,\,\,{I_n}\\
\Rightarrow \,\,\,\,0 \le e - \left( {n + 1} \right){I_n}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,{I_n} \le \,\,\,\frac{e}{{n + 1}}
\end{array}$
Vậy $0 \le \,\,{I_n} \le \,\,\,\frac{e}{{n + 1}}$
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 0 = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{e}{{n + 1}} = 0$, suy ra : $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {I_n} = 0$
|