Bài 101758

a) Vì $x=\pi+k2\pi \Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi$ không nghiệm đúng phương trình (1) nên $\cos \frac{x}{2}\neq 0$. Ta sử dụng công thức: $$\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+tan^{2}\frac{x}{2}}, \cos x=\frac{1-tan^{2}\frac{x}{2}}{1+tan^{2}\frac{x}{2}}$$
Đặt $\tan \frac{x}{2}=t$, ta được phương trình: $$f(t)=t^{2}-(m+2)t+2m+1=0$$     (*)
Với $m=-2$, ta được $t=\pm\sqrt{3}$.
Các họ nghiệm của (1) là: $x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi, k\in Z$.
b) Để (1) có nghiệm $x\in [\frac{\pi}{2};0]$, tương đương $\frac{x}{2}\in [-\frac{\pi}{4};0]$ tương đương $t=\tan \frac{x}{2}\in [-1;0]$.
Để (*) có một nghiệm thuộc $[-1;0]$ ta phải có: $$f(0).f(1)=(2m+1)(3m+4)\leq 0 \Leftrightarrow -\frac{4}{3}\leq m\leq-\frac{1}{2}$$ .
Để (*) có hai nghiệm thuộc $[-1;0]$ ta phải có: $$\begin{cases}\Delta=m^{2}-4m\geq0 \\ af(-1)=3m+4\geq0\\af(0)=2m+1\geq0 \\-1\leq\frac{S}{2}=\frac{m+2}{2}\leq0\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases}m\leq0  hoặc  m\geq4\\ m\geq -\frac{4}{3} \\m\geq-\frac{1}{2}\\-4\leq m\leq-2\end{cases} \Rightarrow  mâu thuẫn$$
Tóm lại: Để (1) có nghiệm ta phải có: $-\frac{4}{3}\leq m\leq -\frac{1}{2}$.