a) Vì \(
x=\pi+k2\pi \Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi
\) không nghiệm đúng phương trình (1) nên \(
\cos \frac{x}{2}\neq 0
\). Ta sử dụng công thức: $$
\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+tan^{2}\frac{x}{2}}, \cos
x=\frac{1-tan^{2}\frac{x}{2}}{1+tan^{2}\frac{x}{2}}
$$
Đặt \(
\tan \frac{x}{2}=t
\), ta được phương trình: $$
f(t)=t^{2}-(m+2)t+2m+1=0
$$ (*)
Với \(
m=-2
\), ta được \(
t=\pm\sqrt{3}
\).
Các họ nghiệm của (1) là: \(
x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi, k\in Z
\).
b) Để (1) có nghiệm \(
x\in [\frac{\pi}{2};0]
\), tương đương \(
\frac{x}{2}\in [-\frac{\pi}{4};0]
\) tương đương \(
t=\tan \frac{x}{2}\in [-1;0]
\).
Để (*) có một nghiệm thuộc \(
[-1;0]
\) ta phải có: $$
f(0).f(1)=(2m+1)(3m+4)\leq 0 \Leftrightarrow -\frac{4}{3}\leq m\leq-\frac{1}{2}
$$.
Để (*) có hai nghiệm thuộc \(
[-1;0]
\) ta phải có: $$
\begin{cases}\Delta=m^{2}-4m\geq0 \\ af(-1)=3m+4\geq0\\af(0)=2m+1\geq0
\\-1\leq\frac{S}{2}=\frac{m+2}{2}\leq0\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}m\leq0 hoặc m\geq4\\ m\geq -\frac{4}{3}
\\m\geq-\frac{1}{2}\\-4\leq m\leq-2\end{cases}
\Rightarrow mâu thuẫn
$$
Tóm lại: Để (1) có nghiệm ta phải có: \(
-\frac{4}{3}\leq m\leq -\frac{1}{2}
\).