Bài 101785

Question

Chứng minh rằng: Trong tam giác $ABC$: $\cot A=2(\cot B+\cot C)$
Là điều kiện cần và đủ để $2$ trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ vuông góc với nhau.

score 0 · Answer 1

Giả sử các trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$. Áp dụng định lý hàm số cosin suy rộng trong tam giác ,ta có :
\[tan\angle NQP = \frac{1}{2} \Rightarrow NPQ\]
$\begin{array}{l}
\cot A = 2(\cot B + \cot C)\\
\Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} = 2(\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}})\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 4{a^2}\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2}(1)
\end{array}$
Mặt khác,theo định lý Pitago,ta có :
$[BM \bot CN \Leftrightarrow B{G^2} + G{C^2} = B{C^2}]$
$[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{4}{9}(m_b^2 + m_c^2) = {a^2}\\
\Leftrightarrow \frac{4}{9}\left( {\frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} + \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}} \right) = {a^2}\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2}(2)
\end{array}$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra
$cotA=2(cotB+cotC)\Leftrightarrow BM \bot CN$
Đó là (đpcm)
Nhận xét :
$1/$ Bài toán chỉ có ý nghĩa nếu ta chỉ ra rằng lớp các tam giác thỏa mãn hệ thức trên là không trống. Thật vậy, xét tam giác cân $ABC (AB=AC)$ và thỏa mãn hệ thức trên, ta có :
$cot A = 2(\cot B + \cot C) \Leftrightarrow \cot A = 4\cot B$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - \cot (B + C) = 4\cot B\\
\Leftrightarrow - \cot 2B = 4\cot B\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - \cot {^2}B}}{{2\cot B}} = 4\cot B\\
\Leftrightarrow \cot {^2}B = \frac{1}{9}\
\end{array}$
Do $B=C$ là góc nhọn nên suy ra : $\cot B = \frac{1}{3}$ Vậy nói riêng các lớp tam giác cân $(AB=AC)$ có chiều cao $AH =\frac{3}{2}$ sẽ thỏa mãn hệ thức $cotA=2(cotB+cotC)$
Thật vậy, khi đó $cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{1}{3}$
     Ta có thể chi ra $1$ lớp tam giác không cân mà vẫn thỏa mãn hệ thức
     $cotA=2(cotB+cotC)$
Thật vậy, chọn tam giác $ABC$ có\[b = 2,c = \sqrt 6 ,a = \sqrt 2 \]
Rõ ràng chúng thỏa mãn điều kiện về cạnh để lập thành tam giác. Ngoài ra dễ thấy \[{b^2} + {c^2} = 10 = 5{a^2}\]
Từ đó suy ra tam giác nói trên thỏa mãn yêu cầu đề bài
Từ nhận xét trên suy ra cách dựng $1$ tam giác không cần có $2$ trung tuyến vuông góc
Dựng đoạn $AC=2$. Trên $Cx$ vuông góc với $AC$, đặt\$CB = \sqrt 2 $
   $ABC$ là tam giác cần tìm.
Dĩ nhiên đây chỉ là $1$ trong số các tam giác có $2$ trung tuyến vuông góc với nhau.
Bài toán có vố số nghiệm hình.

Bài 101785

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101785

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan