Giải
Ta có:
Áp dụng công thức $\sin A = \frac{{2S}}{{bc}}$ và theo
định lý hàm số cosin suy rộng, ta có:
\[2{\sin ^2}A = tanBtanC\]
$\Leftrightarrow 2.\frac{4S^{2}}{b^2c^2}=\frac{4S}{a^2+b^2-c^2}.\frac{4S}{a^2-b^2+c^2}$
$\Leftrightarrow 2.b^2c^2=a^4-(b^2-c^2)^2$
$\Leftrightarrow 2b^2c^2=a^4-b^4-c^4+2b^2c^2$
$\Leftrightarrow a^4=b^4+c^4$
Đó là (đpcm)
Nhận xét :
$1/$ Xét tam giác cân $(AB=AC$) có \[a = \sqrt[4]{2}b\]
Rõ ràng tam giác này tồn tại,vì thỏa mãn mối quan hệ về cạnh
trong tam giác
$a < b + c \Leftrightarrow \sqrt[4]{2}b < 2b$
\[ \Leftrightarrow \sqrt[4]{2} < 2(*)\]
Dễ thấy $(*)$ đúng.Lớp tam giác nói trên thỏa mãn hệ thức ${a^4} = {b^4} +
{c^4}$do \[{a^4} = 2{b^4} = {b^4} + {c^4}\]
Điều đó chứng tỏ lớp các tam giác thảo mãn điều kiện là khác trống
$2/$ Từ\[{a^4} = {b^4} + {c^4} \Leftrightarrow 1 = {\left( {\frac{b}{a}}
\right)^4} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^4}\]
\[
\Leftrightarrow \frac{b}{a},\frac{c}{a} \in (0,1)\].Vậy theo tính
chất của hàm mũ,ta có :
$(\frac{b}{a}^4)<((\frac{b}{a}^2))$
$\Leftrightarrow (\frac{c}{a}^4)<(\frac{c}{a}^2)$
$\frac{b^2+c^2}{a^2}>1\Leftrightarrow b^2+c^2>a^2$
Như thế nói riêng các lớp tam giác thỏa mãn điều kiện \[{a^4} = {b^4} +
{c^4}\] là lớp con của lớp tam giác nhọn