|
|
Kí hiệu các bất đẳng thức điều kiện trong hệ là $(1),(2),(3)$.
Giả sử trái lại, trong ba số $a,b,c$ có (ít nhất) một số không dương. Vai trò $a,b,c$ ngang nhau, ta có thể coi rằng $a\leq 0$. nhưng theo $(3)$ thì $a$ phải khác $0$, vậy $a<0$, và ta có $bc<0$.
Theo $(2)$, ta được :
$a(b+c)=ab+ca>-bc>0$
mà $a<0$, nên $b+c<0$.
Với $a<0, b+c<0$ suy ra $a+b+c<0$, trái với $(1)$.
Do đó điều giả sử là sai, suy ra không tồn tại số không dương nào trong 3 số a,b,c.
Vậy ta có đpcm.
|