|
|
$\begin{array}{l}
tanAtanC = 3 \Rightarrow tanC = \frac{3}{{tanA}}\\
tanBtanC = 6 \Rightarrow tanB = \frac{6}{{tanC}} = 3tanA
\end{array}$
Áp dụng công thức : $tanA = - {\rm{tan(B + C) = }}\frac{{tanB + tanC}}{{tanBtanC - 1}} \Rightarrow tanA = \frac{{2tanA = \frac{3}{{tanA}}}}{5} \Rightarrow t{g^2}A = 1$
Từ giả thiết suy ra $tanA,tanB,tanC$ cùng dấu,do đó $A,B,C$ cùng nhọn .
Do đó $tanA=1,tanC=3,tanB=2$
Do đó $tanC=tanA+tanB$$(dpcm)$
Nhận xét :
Thức chất từ $tanAtanC=3,tanBtanC=6$ suy ra $A = {45^0}$.Đó là điều cốt lõi.Dĩ nhiên ta không có mệnh đề đảo,tức là từ $tanA=tanB+tanC$ không suy ra $tanAtanC=4,tanBtanC=6$
Thật vậy,xét tam giác $ABC$ có $tanA = tanB = \sqrt 2 ,tanC = 2\sqrt 2 $( rõ ràng tam giác này tồn tại,vì từ đó có $tanC = \frac{{tanA + tanB}}{{tanAtanB - 1}} = - {\rm{tan (}}A + B) \Rightarrow A + B + C = {180^0}$và $A,B,C>0$)
Tam giác này dĩ nhiên không có điều kiện $tanAtanC=3,tanBtanC=6$
|