Bài 102024

Question

Chứng minh các dãy số $u_{n}$ sau đây bị chặn biết
a) $u_{n}=\frac{3n^{2}-2}{n^{2}+1}$

b) $u_{n}=\frac{n+(-1)^{n}}{2n+1}$

c) $u_{n}=\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+1}}$

d) $u_{n}=\frac{6n^{3}-2n+1}{n^{3}+2n}$

score 0 · Answer 1

Ta xét trường hợp $n\in N^{*}$
a) $u_{n}=\frac{3n^{2}-2}{n^{2}+1}=3-\frac{5}{n^{2}+1}$
$\Rightarrow u_{n}<3$
$\Rightarrow u_{n}$ là dãy số bị chặn trên
Mặt khác vì $n\geq 1 $ nên $3n^{2}\geqslant 3 $
$\Rightarrow u_{n}=\frac{3n^{2}-2}{n^{2}+1}>0$
$\Rightarrow u_{n}$ bị chặn dưới
Vậy dãy số $u_{n}$ là dãy số bị chặn

b) $u_{n}=\frac{n+(-1)^{n}}{2n+1}\leq \frac{n+1}{2n+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2(2n+1)}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3} $
$\Rightarrow u_{n}\leq \frac{2}{3}$
$\Rightarrow u_{n}$ là dãy số bị chặn trên
Mặt khác vì $n+(-1)^{n}\geq 0 $ và $2n+1>0, \forall n \geqslant 1 $
$\Rightarrow u_{n}=\frac{n+(-1)^{n}-2}{2n+1}\geq0$
$\Rightarrow u_{n}$ bị chặn dưới
Vậy dãy số $u_{n}$ là dãy số bị chặn

c) $u_{n}=\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+1}}\geq 0$ (vì $n\in N^{*})$
$\Rightarrow u_{n}$ là dãy số bị chặn dưới
Mặt khác vì $n\geq 1 $ nên
$\Rightarrow u_{n}=\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+1}}\leq \frac{n-1}{\sqrt{n^{2}}}=\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}<1$
$\Rightarrow u_{n}$ bị chặn trên
Vậy dãy số $u_{n}$ là dãy số bị chặn

d) $u_{n}=\frac{6n^{3}-2n+1}{n^{3}+2n}=\frac{2n(3n^{2}-1)+1}{n^{3}+2n}$
$\Rightarrow u_{n}>0$( vì $n\in N^{*} $ nên $3n^{2}-1>0$
$\Rightarrow u_{n}$ là dãy số bị chặn dưới
Mặt khác vì $u_{n}=\frac{6n^{3}-2n+1}{n^{3}+2n} =6-\frac{14n-1}{n^{3}+2n}<6$ (vì $14n-1>0$)
$\Rightarrow u_{n}$ bị chặn trên
Vậy dãy số $u_{n}$ là dãy số bị chặn

Bài 102024

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102024

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan