Bài 102126

Question

Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức :

${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \cot A + \cot B + \cot C$
CMR

$tanA > \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ (với quy ước

$tan{90^0} = + \infty$ )

score 0 · Answer 1

Áp dụng định lý hàm số cosin suy rộng,ta có

$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}$
Vì thế từ giả thiết suy ra :

${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}} (1)$
Áp dụng định lý hàm số sin và sử dụng công thức

$S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C$ ,thì

$(1) \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{{4{R^2}({{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C)}}{{8{R^2}\sin A\sin B\sin C}}$

$\Leftrightarrow \sin A\sin B\sin C = \frac{1}{2} (2)$
Chỉ có

$3$ khả năng sau xảy ra

$1/$ Nếu

$A = {90^0}$ ,thì theo quy ước

$tanA=+\infty$ và như vậy rõ ràng lúc này

$tanA > \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$2/$ Nếu

$A<90^{^0}$ .Vì

$0 < \sin B\sin C < 1 \Rightarrow \sin A > \frac{1}{2}$ ,kết hợp với

$A < {90^0}$ ,suy ra :

${30^0} < A < {90^0} \Rightarrow tanA > \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$3/$ Nếu

$A > {90^0}$ ,ta có

$\sin B\sin C = \frac{1}{2}\left[ {c{\rm{os}}(B - C) - c{\rm{os}}(B + C)} \right] \le \frac{1}{2}(1 + \cos A)$
Từ

$\sin A\sin B\sin C = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin A(1 + \cos A) \ge 1$

$\Rightarrow \sin 2A + \sin A \ge 2 (*)$
Do

${180^0} > A > {90^0} \Rightarrow \sin 2A < 0$ ,vậy từ

$(*)$ có

$sinA>1$
Điều này vô lý chứng tỏ không tồn tại

$A > {90^0}$
Kết hợp lại ta luôn có

$tanA > \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Nhận xét :

$1/$ Qua cách giải bài toán trên,ta nhận thấy thức chất ta đã giải được bài toán sau:
Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức :

${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \cot A + \cot B + \cot C$
CMR

$\left\{ \begin{array}{l} m{\rm{ax}}(A,B,C) \le {90^0}\\ \min (A,B,C) > {30^0} \end{array} \right.$
Điều này thấy được do vai trò tương đương của

$A,B,C$

$2/$ Lớp các tam giác ABC thỏa mãn

${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \cot A + \cot B + \cot C$ là khác rỗng. Thật vậy,xét tam giác

$ABC$ có

$A = {90^0},B = C = {45^0}$
Khi đó

${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \cot A + \cot B + \cot C(=2)$
Với tam giác này có

$tanA = + \infty$ theo quy ước

$3/$ Liệu có tồn tại tam giác không vuông mà thỏa mãn hệ thức

${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \cot A + \cot B + \cot C$ hay không ?
Câu trả lời dành cho bạn đọc

Bài 102126

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102126

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan