Bất đẳng thức $(1)$ đúng với $n=1, n=2$ bởi vì:
$(1+\frac{1}{1})^1=2<3,(1+\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}<3$.
Vậy ta xét $n\geq 3$, và chứng minh rằng : với mọi số nguyên dương $k $ thoả mãn điều kiện $1\leq k\leq n$, ta có:
$(1+\frac{1}{n})^k<1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{n^2} (2)$
Khi đó, với $ k=n $, thì $(2)$ trở thành $(1)$.
Đẻ chứng minh $(2)$, ta sử dụng phép quy nạp "hạn chế", tức là cố định $n(n\geq 3)$, và xét các số nguyên dương $k$, với $ 1\leq k\leq n$
Với $k=1$ thì $(2)$ trở thành :
$1+\frac{1}{n}<1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$ đúng.
Giả sử $(2)$ đúng với $k (1\leq k\leq n-1)$, ta chứng minh $(2)$ đúng với $k+1$.
Ta có:
$(1+\frac{1}{n})^{k+1}=(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})^k<(1+\frac{1}{n})(1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{n^2})=1+\frac{k+1}{n}+\frac{k^2+k}{n^2}+\frac{k^2}{n^3}$.
Như vậy để chứng tỏ $(2)$ đúng với $k+1$, ta chỉ cần chứng tỏ :
$\frac{k^2+k}{n^2}+\frac{k^2}{n^3}<\frac{(k+1)^2}{n^2}\Leftrightarrow nk^2+nk+k^2<n(k^2+2k+1)\Leftrightarrow k^2<n(k+1)$.
Bất đẳng thức này đúng vì $k\leq n-1.$