|
|
Gọi $ {P_n} $ là nguyên tố thứ n, $ n \in {Z_ + } $
Ta Chứng minh rằng : $ {P_n} < {2^{{2^n}}} $ (1) $ \forall n \in {Z_ + } $
Khi n = 1 :
Ta có :
$$ \begin{array}{l}
{P_1} = {2^{{2^1}}}\\
{P_2} < {2^{{2^2}}}\\
{P_3} < {2^{{2^3}}}\\
........\\
{P_k} < {2^{{2^k}}}
\end{array} (2)$$
Ta Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1 nghĩa là : $ {P_{k + 1}} < {2^{{2^{k + 1}}}} $ (3)
Xem số : $ A = {p_1}{p_2}{p_3}.....{p_k} + 1 \Rightarrow A > {p_k} $
Gọi d là một ước số nguyên tố của $ A \Rightarrow d \le A $
Nếu $d \le {p_k} $ thì $ d\left| { {p_1}{p_2}} \right.{p_3}....{p_k} $
Do đó $ d\,\,\left| {\,\,1} \right. $ , vô lý.
Ta suy ra : $ d > {p_k} \Rightarrow d \ge {p_{k + 1}} $
Ta có :
$ \begin{array}{l}
{p_{k + 1}} \le d \le A = {p_1}{p_2}{p_3}...{p_k} + 1\\
{p_{k + 1}} < {2^{{2^1}}}{2^{{2^2}}}{2^{{2^3}}}{....2^{{2^k}}}\\
\Rightarrow {p_{k + 1}} < {2^{{2^1}}}{2^{{2^2}}}{2^{{2^3}}}{....2^{{2^k}}}\\
= {2^{{2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^k}}}\\
= {2^{{2^{k + 1}} - 2}}
\end{array} $
Do đó : $ {P_{k + 1}} < {2^{{2^{k + 1}}}} $
(3) đã được Chứng minh
Vậy $ {P_n} < {2^{{2^n}}} \forall n \in {Z_ + } $
|