|
Gọi $ {P_n} $ là nguyên tố thứ n, $ n \in {Z_ + } $ Ta Chứng minh rằng : $ {P_n} < {2^{{2^n}}} $ (1) $ \forall n \in {Z_ + } $ Khi n = 1 : Ta có : $$ \begin{array}{l} {P_1} = {2^{{2^1}}}\\ {P_2} < {2^{{2^2}}}\\ {P_3} < {2^{{2^3}}}\\ ........\\ {P_k} < {2^{{2^k}}} \end{array} (2)$$ Ta Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1 nghĩa là : $ {P_{k + 1}} < {2^{{2^{k + 1}}}} $ (3) Xem số : $ A = {p_1}{p_2}{p_3}.....{p_k} + 1 \Rightarrow A > {p_k} $ Gọi d là một ước số nguyên tố của $ A \Rightarrow d \le A $ Nếu $d \le {p_k} $ thì $ d\left| { {p_1}{p_2}} \right.{p_3}....{p_k} $ Do đó $ d\,\,\left| {\,\,1} \right. $ , vô lý. Ta suy ra : $ d > {p_k} \Rightarrow d \ge {p_{k + 1}} $ Ta có : $ \begin{array}{l} {p_{k + 1}} \le d \le A = {p_1}{p_2}{p_3}...{p_k} + 1\\ {p_{k + 1}} < {2^{{2^1}}}{2^{{2^2}}}{2^{{2^3}}}{....2^{{2^k}}}\\ \Rightarrow {p_{k + 1}} < {2^{{2^1}}}{2^{{2^2}}}{2^{{2^3}}}{....2^{{2^k}}}\\ = {2^{{2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^k}}}\\ = {2^{{2^{k + 1}} - 2}} \end{array} $ Do đó : $ {P_{k + 1}} < {2^{{2^{k + 1}}}} $
(3) đã được Chứng minh Vậy $ {P_n} < {2^{{2^n}}} \forall n \in {Z_ + } $
|