Bài 102223

Question

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để cho phương trình: $ a^3 + a^2|a + x| + |a^2x + 1| = 1 $ (*) có không ít hơn 4 nghiệm nguyên khác nhau.

score 0 · Answer 1

Ta có:
$ \begin{array}{l}
(*)\Leftrightarrow |{a^3} + {a^2}x| + |{a^2}x + 1| = 1 - {a^3}\\
\Leftrightarrow |{a^2}x + 1| + |{a^3} + {a^2}x| = \left( {{a^2}x + 1} \right) - \left( {{a^3} + {a^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2}x + 1 \ge 0\\
{a^3} + {a^2}x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2}x + 1 \ge 0(1)\\
a + x \le 0
\end{array} \right.
\end{array} $
Xét các khả năng sau:
1.    Với $ a > 1 $ : (*) vô nghiệm
2.    Với $ a = 1 $ : $ (*) \Leftrightarrow |x + 1| = 0 $ $ \Leftrightarrow x = - 1 $ , không thỏa
3.    Với $ a = 0 $ : (*) thỏa mọi x
Do đó $ a = 0 $ thích hợp
4.    Với $ 0 < a < 1 \Leftrightarrow - 1 < - a < 0 $         (2)
Hệ tương đương với: $ - \frac{1}{{{a^2}}} \le x \le - a $              (3)
Để (*) có không ít hơn 4 nghiệm nguyên phân biệt, ta phải có:
$ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{a^2}}} \le - 4
\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}
\end{array} $
Kết hợp với (2) ta có: $ 0 < a \le \frac{1}{2}\left( \beta \right) $
5.    Với $ - 1 < a < 0 \Leftrightarrow 0 < - 1 < - 1 $
Từ (3) $ \Rightarrow x < 1 $
Để (*) có không ít hơn 4 nghiệm nguyên phân biệt, ta phải có:
$ \begin{array}{l}
- \frac{1}{{{a^2}}} \le - 3
\Leftrightarrow - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le a \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array} $
Kết hợp với (4), ta có : $ - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le a < 0\left( \gamma \right) $
6.    Với $ a = - 1 $ : $ (3) \Rightarrow - 1 \le x \le 1 $
Chỉ có 3 giá trị nguyên của x thỏa, loại .
7.    Với $ a < - 1 \Rightarrow - \frac{1}{{{a^2}}} > - 1 $ $ (3) \Rightarrow x > - 1 $
Để (*) có không ít hơn 4 nghiệm nguyên phân biệt, ta phải có : $ \begin{array}{l}
- a \ge 3 \Leftrightarrow a \le - 3\left( \delta \right)\end{array} $
Từ $ \left( \gamma \right),\left( \beta \right),\left( \delta \right) $ , ta tìm ra tập hợp các giá trị thực của a để phương trình (*) đã cho có không ít hơn 4 nghiệm nguyên phân biệt là :
    $ E = ( - \infty ; - 3] \cup {\rm{[}} - \frac{{\sqrt 3 }}{3};\frac{1}{2}{\rm{]}} $

Bài 102223

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102223

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan