Bài 102305

Question

Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức:

$cos\frac{A}{2}\sqrt{cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$
Tìm dạng của tam giác

$ABC$

score 0 · Answer 1

Do

$c{\rm{os}}\frac{A}{2} > 0,c{\rm{os}}\frac{B}{2} > 0,c{\rm{os}}\frac{C}{2} > 0$ , nên đưa hệ thức đã cho về dạng sau:

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} = \frac{{16}}{{27}} (1)$
Ta có

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} = \frac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}\left[ {c{\rm{os}}\frac{{B + C}}{2} + c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}} \right]$
Vì thế :

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}(1 + \sin \frac{A}{2})$

$\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{1}{4}(1 + \sin \frac{A}{2})(1 + \sin \frac{A}{2})(2 - 2\sin \frac{A}{2}) (2)$
Dấu

$“=”$ trong

$(2)$ xảy ra khi

$B=C$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có :

$(1 + \sin \frac{A}{2})(1 + \sin \frac{A}{2})(2 - 2\sin \frac{A}{2}) \le {\left[ {\frac{{(1 + \sin \frac{A}{2})(1 + \sin \frac{A}{2}) + (2 - 2\sin \frac{A}{2})}}{3}} \right]^3}$

$\Rightarrow {(1 + \sin \frac{A}{2})^2}(2 - 2\sin \frac{A}{2}) \le \frac{{64}}{{27}} (3)$
Dấu

$“=”$ trong (

$3)$ xảy ra khi

$1 + \sin \frac{A}{2} = 2 - 2\sin \frac{A}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow A = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Từ

$(2)(3)$ ta có

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{{16}}{{27}}$
Dấu

$‘=”$ xảy ra khi

$B=C,A = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Vậy tam giác

$ABC$ là tam giác cân đỉnh

$A$ ,

$A = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Nhận xét
Ta có bài toán tương tự sau:

$1/$ Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức sau:

$\sin \frac{A}{2}\sqrt {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}$
Tìm dạng của tam giác này
Ta có thể viết hệ thức đã cho dưới dạng tương đương sau:

${\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{2}{{27}}$
Ta có:

${\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{A}{2}\left[ {c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{B + C}}{2}} \right]$

$\Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{A}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) (6)$
Dấu “

$=”$ xảy ra khi

$B=C$
Lại có

$\frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{A}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) - 2\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}(1 - \sin \frac{A}{2})$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

$\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) \le {\left[ {\frac{{\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}(1 - \sin \frac{A}{2})}}{3}} \right]^3}$

$\Rightarrow \frac{{{{\sin }^2}\frac{A}{2}}}{4}(1 - \sin \frac{A}{2}) \le \frac{1}{{27}} (7)$
Dấu “

$=”$ trong (

$7$ ) xảy ra khi

$\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2} = 1 - \sin \frac{A}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow A = 2\arcsin \frac{2}{2}$
Từ (

$6)(7$ ) suy ra

${\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{2}{{27}} (8)$
Dấu “

$=”$ trong (

$8$ ) xảy ra khi có dấu “

$=”$ trong (

$6)$ và (

$7$ ),tức

$B=C$ và

$A = 2\arcsin \frac{2}{3}$
Vậy tam giác

$ABC$ là tam giác cân đỉnh

$A$ ,với

$A = 2\arcsin \frac{2}{3}$

$2/$ Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức :

$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{9}$
Tìm dạng của tam giác này
Ta có

$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{1}{2}(c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2})\sqrt {\sin \frac{C}{2}}$

$\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{1}{2}(1 - \sin \frac{C}{2})\sqrt {\sin \frac{C}{2}} (9)$
Dấu “

$=$ ” xảy ra khi

$A=B$
Ta có

${(1 - \sin \frac{C}{2})^2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}(1 - \sin \frac{C}{2})(1 - \sin \frac{C}{2})(2\sin \frac{C}{2})$
Theo bất đẳng thức COSI ,ta có

$(1 - \sin \frac{C}{2})(1 - \sin \frac{C}{2})(2\sin \frac{C}{2}) \le {\left[ {\frac{{(1 - \sin \frac{C}{2}) + (1 - \sin \frac{C}{2}) + 2\sin \frac{C}{2}}}{3}} \right]^3}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2(1 - \sin \frac{C}{2})(1 - \sin \frac{C}{2})\sin \frac{C}{2} \le \frac{{64}}{{27}}\\ \Rightarrow {(1 - \sin \frac{C}{2})^2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{{32}}{{27}} \end{array}$