|
|
Do $c{\rm{os}}\frac{A}{2} > 0,c{\rm{os}}\frac{B}{2} > 0,c{\rm{os}}\frac{C}{2} > 0$, nên đưa hệ thức đã cho về dạng sau: $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} = \frac{{16}}{{27}} (1)$
Ta có
$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} = \frac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}\left[ {c{\rm{os}}\frac{{B + C}}{2} + c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}} \right]$
Vì thế :
$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}(1 + \sin \frac{A}{2})$
$\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{1}{4}(1 + \sin \frac{A}{2})(1 + \sin \frac{A}{2})(2 - 2\sin \frac{A}{2}) (2)$
Dấu $“=”$ trong $(2)$ xảy ra khi $B=C$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có :
$(1 + \sin \frac{A}{2})(1 + \sin \frac{A}{2})(2 - 2\sin \frac{A}{2}) \le {\left[ {\frac{{(1 + \sin \frac{A}{2})(1 + \sin \frac{A}{2}) + (2 - 2\sin \frac{A}{2})}}{3}} \right]^3}$
$\Rightarrow {(1 + \sin \frac{A}{2})^2}(2 - 2\sin \frac{A}{2}) \le \frac{{64}}{{27}} (3)$
Dấu $“=” $ trong ($3)$ xảy ra khi $1 + \sin \frac{A}{2} = 2 - 2\sin \frac{A}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow A = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Từ $(2)(3)$ ta có $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} \le \frac{{16}}{{27}}$
Dấu $‘=”$ xảy ra khi $B=C,A = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Vậy tam giác $ABC$ là tam giác cân đỉnh $A$, $A = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Nhận xét
Ta có bài toán tương tự sau:
$1/$ Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức sau:
$\sin \frac{A}{2}\sqrt {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}$
Tìm dạng của tam giác này
Ta có thể viết hệ thức đã cho dưới dạng tương đương sau:
${\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{2}{{27}}$
Ta có:
${\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{A}{2}\left[ {c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{B + C}}{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{A}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) (6)$
Dấu “$=”$ xảy ra khi $B=C$
Lại có $\frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{A}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) - 2\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}(1 - \sin \frac{A}{2})$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
$\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) \le {\left[ {\frac{{\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2}(1 - \sin \frac{A}{2})}}{3}} \right]^3}$
$ \Rightarrow \frac{{{{\sin }^2}\frac{A}{2}}}{4}(1 - \sin \frac{A}{2}) \le \frac{1}{{27}} (7)$
Dấu “$=”$ trong ($7$) xảy ra khi $\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{2} = 1 - \sin \frac{A}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow A = 2\arcsin \frac{2}{2}$
Từ ($6)(7$) suy ra ${\sin ^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{2}{{27}} (8)$
Dấu “$=”$ trong ($8$) xảy ra khi có dấu “$=”$ trong ($6)$ và ($7$),tức $B=C$ và $A = 2\arcsin \frac{2}{3}$
Vậy tam giác $ABC$ là tam giác cân đỉnh $A$ ,với $A = 2\arcsin \frac{2}{3}$
$2/$ Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức :
$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{9}$
Tìm dạng của tam giác này
Ta có $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{1}{2}(c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2})\sqrt {\sin \frac{C}{2}} $
$ \Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{1}{2}(1 - \sin \frac{C}{2})\sqrt {\sin \frac{C}{2}} (9)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $A=B$
Ta có ${(1 - \sin \frac{C}{2})^2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}(1 - \sin \frac{C}{2})(1 - \sin \frac{C}{2})(2\sin \frac{C}{2})$
Theo bất đẳng thức COSI ,ta có
$(1 - \sin \frac{C}{2})(1 - \sin \frac{C}{2})(2\sin \frac{C}{2}) \le {\left[ {\frac{{(1 - \sin \frac{C}{2}) + (1 - \sin \frac{C}{2}) + 2\sin \frac{C}{2}}}{3}} \right]^3}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow 2(1 - \sin \frac{C}{2})(1 - \sin \frac{C}{2})\sin \frac{C}{2} \le \frac{{64}}{{27}}\\
\Rightarrow {(1 - \sin \frac{C}{2})^2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{{32}}{{27}}
\end{array}$
$\Leftrightarrow (1 - \sin \frac{C}{2})\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{{4\sqrt 6 }}{9} (10)$
Dấu “$=$” trong ($10)$ xảy ra khi $1 - \sin \frac{C}{2} = 2\sin \frac{C}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{C}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 2\arcsin \frac{1}{3}$
Từ ($9)(10)$ ta có $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sqrt {\sin \frac{C}{2}} \le \frac{{2\sqrt 3 }}{9} (11)$
Dấu “$=$” trong $(11$) xảy ra khi có dấu “$=$” trong $(9) (10)$,tức $A = B,C = 2a\arcsin \frac{1}{3}$
Vậy tam giác $ABC$ là tam giác cân đỉnh $C$ với $C = 2\arcsin \frac{1}{3}$
$3/$ Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức
$\sin A\sqrt {\sin B\sin C} = \frac{{4\sqrt 3 }}{9}$
Tìn dạng của tam giác này
Đưa hệ thức về dạng tương đương sau
${\sin ^2}A\sin B\sin C = \frac{{16}}{{27}} (12)$
Ta có ${\sin ^2}A\sin B\sin C = \frac{1}{2}{\sin ^2}A\left[ {c{\rm{os}}(B - C) - c{\rm{os}}(B + C)} \right]$
$ \le \frac{1}{2}{\sin ^2}A(1 + \cos A)$
$\Rightarrow {\sin ^2}A\sin B\sin C \le \frac{1}{2}(1 + \cos A)(1 - \cos A)$
$ \Rightarrow {\sin ^2}A\sin B\sin C \le \frac{1}{4}(1 + \cos A)(1 + \cos A)(2 - 2\cos A) (13)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $B=C$
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có
$(1 + \cos A)(1 + \cos A)(2 - \cos A) \le \left[ {\frac{{(1 + \cos A) + (1 + \cos A) + (2 - 2\cos A)}}{3}} \right]$
$ \Rightarrow {(1 + \cos A)^2}(2 - 2\cos A) \le \frac{{64}}{{27}} (14)$
Dấu “$=$” trong $(14)$ xay ra khi $1 + \cos A = 2 - 2\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{1}{3} \Leftrightarrow A = \arccos \frac{1}{3}$
Từ dó ta có ${\sin ^2}A\sin B\sin C \le \frac{{16}}{{27}} (15)$
Dấu “$=$” trong $(15)$ xảy ra khi có dấu ‘$=$” trong $(13)(14)$, tức $B = C,A = \arccos \frac{1}{3}$
Từ ($12$) suy ra trong ($15)$ có dấu “=”. Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $A = \arccos \frac{1}{3}$
|