Bài 102439

Question

$1/$ Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn điều kiện:

${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + 2\sin A\sin B = \frac{9}{4} + \cos C + \cos^2C$
Chứng minh rằng tam giác

$ABC$ cân với góc ở đỉnh

$C = {120^0}$

$2/$ Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn điều kiện:

$\sin \frac{{A - B}}{2} + \sin \frac{{A - C}}{2} + \sin \frac{{3A}}{2} = \frac{3}{2}$
Chứng minh rằng tam giác

$ABC$ cân với góc ở đỉnh

$A = {100^0}$

score 0 · Answer 1

$1/$ Từ giả thiết ta có:

${(\sin A + \sin B)^2} = {(\frac{3}{2} + \cos C)^2}$

$\Leftrightarrow \sin A + \sin B = \frac{3}{2} + \cos C$
( vì

$\sin A + \sin B > 0,\frac{3}{2} + \cos C > 0$ trong mọi tam giác )

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sin \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} = \frac{3}{2} + 2{\cos ^2}\frac{C}{2} - 1\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\frac{C}{2} - 4\cos \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {(2\cos \frac{C}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2})^2} + {\sin ^2}\frac{{A - B}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{{A - B}}{2} = 0(1)\\ 2\cos \frac{C}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} = 0(2) \end{array} \right. \end{array}$
Từ (

$1$ ) suy ra

$A=B$ , thay vào (

$2$ ) có

$c{\rm{os}}\frac{C}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow C = {120^0}$
Từ đó suy ra (đpcm)

$2/$ Ta có

$3A = 3\pi - 3(B + C) \Rightarrow \frac{{3A}}{2} = \frac{{3\pi }}{2} - \frac{{3(B + C)}}{2} \Rightarrow \sin \frac{{3A}}{2} = - c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{2}$
Từ đó suy ra

$\sin \frac{{A - B}}{2} + \sin \frac{{A - C}}{2} + \sin \frac{{3A}}{2} = \frac{3}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sin \frac{{2A - (B + C)}}{4}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{4} - c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{2} = \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin \frac{{2\pi - 3(B + C)}}{{}}4c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{4} - c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{2} = \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\cos \frac{{3(B + C)}}{4}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{4} - 2{\cos ^2}\frac{{3(B + C)}}{4} + 1 = \frac{3}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{{3(B + C)}}{4} - c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{4}c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{4} + \frac{1}{2} = 0 (1)$
Từ (

$1$ ) suy ra phương trình

$2{x^2} - 2\cos \frac{{B - C}}{4}x + \frac{1}{2} = 0$
Phải có nghiệm, tức

$\Delta ' = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{B - C}}{4} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{B - C}}{4} \ge 1 (2)$
Mặt khác

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{B - C}}{4} \le 1 (3)$
Từ (

$2$ ) và (

$3$ ) suy ra

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{B - C}}{2} = 1$

$\Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = 1$ (do

$\left| {\frac{{B - C}}{4}} \right| < {90^0}$ )

$\Leftrightarrow B = C (4)$
Thay (

$4$ ) vào (

$1$ ) ta có

$c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{3B}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{3B}}{2} = {60^0} \Leftrightarrow B = {40^0}$
Từ đó suy ra (đcpm)

Bài 102439

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102439

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan