Cho a=b>0,c=0, ta có : 2x2a6≤xa6⇔2x2≤x⇔0≤x≤12
Đảo lại, giả sử x∈[0;12]. không giảm tổng quát, giả sử a≥b≥c≥0.
Đặt: b2+c2+(x−1)a2=A,a2+bcx=A1;
a2+c2+(x−1)b2=B,b2+acx=B1;
a2+b2+(x−1)c2=C,c2+abx=C1.
Dễ thấy B,C,A1,B1,C1≥0.
Nếu A≤0 thì bất đẳng thức (1) đúng nên chỉ xét trường hợp A>0.
Ta có: AB−C21=(a−b)2[xc2+(x−1)(a+b)2]≤0
vì xc2≤(1−x)c2≤(1−x)(a+b)2.
Vậy, AB≤C21(2)
Tương tự:
AC−B21=(a−c)2[xb2+(x−1)(a+c)2]=k≤0(3)
BC−A21=(b−c)2[xa2+(x−1)(b+c)2](4)
Ta sẽ chứng minh :
BC−A21≤−k.(5)
Thật vậy, vì 0≤x≤1−x nên:
xa2≤(1−x)(a+c)2,xb2≤(1−x)(b+c)2.
Do đó: xa2+(x−1)(b+c)2≤(1−x)(a+c)2−xb2.
Lại có: a−c≥b−c≥0
mà: (1−x)(a+c)2≥(1−x)b2≥xb2.
Do đó: (b−c)2[xa2+(x−1)(b+c)2]≤(a−c)2[(1−x)(a+c)2−xb2]=−k
Từ (3),(5) ta có:
AC.BC≤(B21+k)(A21−k)=A21B21+kA21−kB21−k2
≤A21B21( do A1≥B1≥0≥k)(6)
Nhân (2) và (6) theo từng vế ta có (AB.AC.BC)2≤A21B21C21⇔ABC≤A1B1C1(do các số đều không âm). Đó là đpcm.