|
|
Theo giả thiết ta có
$\begin{array}{l}
\cot g\frac{A}{2} + \cot g \frac{C}{2} = 2\cot g\frac{B}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{{A + C}}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\cos B}}{{\sin B}}(1)
\end{array}$
Vì trong tam giác $ABC$,$\sin \frac{{A + C}}{2} = c{\rm{os}}\frac{B}{2}\# 0$ nên từ ($1$) suy ra
$\begin{array}{l}
\cot g\frac{A}{2} + \cot g\frac{C}{2} = 2\cot g\frac{B}{2}\\
\Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} = \sin \frac{B}{2}\\
\Leftrightarrow 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2} = 2\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}(c{\rm{os}}\frac{B}{2} > 0)\\
\Leftrightarrow 2\cos \frac{B}{2}(c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A + C}}{2}) = \sin B\\
\Leftrightarrow 2\sin \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} - \sin B = \sin B\\
\Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\\
\Leftrightarrow a + c = 2b\\
\Rightarrow dpcm
\end{array}$
Nhận xét
-Việc tồn tại tam giác thường có tính chất $\cot g\frac{A}{2},\cot g\frac{B}{2},\cot g\frac{C}{2}$ là thành cấp số cộng là hiển nhiên,vì theo trên điều đó tương đương với việc tồn tại tam giác $ABC$ có $a,b,c$ lập thành cấp số cộng,$1$ trong các tam giác đó là $a=3,b=4,c=5$
-Tam giác $ABC$ có $a,b,c$ lập thành cấp số cộng cũng có nhiều tính chất lý thú qua nhiều bài toán
|