Bài 102472

Question

CMR trong tam giác

$ABC$ thì

$\cot \frac{A}{2},\cot \frac{B}{2},\cot \frac{C}{2}$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

$a,b,c$ lập thành cấp số cộng

score 0 · Answer 1

Theo giả thiết ta có

$\begin{array}{l} \cot g\frac{A}{2} + \cot g \frac{C}{2} = 2\cot g\frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{{A + C}}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\cos B}}{{\sin B}}(1) \end{array}$
Vì trong tam giác

$ABC$ ,

$\sin \frac{{A + C}}{2} = c{\rm{os}}\frac{B}{2}\# 0$ nên từ (

$1$ ) suy ra

$\begin{array}{l} \cot g\frac{A}{2} + \cot g\frac{C}{2} = 2\cot g\frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} = \sin \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2} = 2\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}(c{\rm{os}}\frac{B}{2} > 0)\\ \Leftrightarrow 2\cos \frac{B}{2}(c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A + C}}{2}) = \sin B\\ \Leftrightarrow 2\sin \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} - \sin B = \sin B\\ \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\\ \Leftrightarrow a + c = 2b\\ \Rightarrow dpcm \end{array}$
Nhận xét
-Việc tồn tại tam giác thường có tính chất