Bài 102520

Question

Với những giá trị nào của tham số $a$ thì phương trình
$ x^4 + (1 - 2a)x^2 + a^2 - 1 = 0 (*) $
a. Vô nghiệm?
b. Có một nghiệm?
c. Có hai nghiệm ?
d. Có ba nghiệm?

score 0 · Answer 1

Đặt $ {x^2} = t, $ với $ t \ge 0 $ . Ta có: (*) $ \Rightarrow {t^2} + (1 - 2a)t + {a^2} - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) $
$ \Delta = {(1 - 2a)^2} - 4({a^2} - 1) = 5 - 4a $

a. Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm.
$ \Leftrightarrow \Delta < 0 \vee \left\{ \begin{array}{l}
\Delta \ge 0\\
P = {a^2} - 1 > 0\\
S = 2a - 1 < 0
\end{array} \right. $ $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow a > \frac{5}{4} \vee \left\{ \begin{array}{l}
a \le \frac{5}{4}\\
a < - 1 \vee a > 1\\
a < \frac{1}{2}
\end{array} \right.\Leftrightarrow a > \frac{5}{4} \vee a < - 1
\end{array} $
Vậy (*) vô nghiệm khi và chỉ khi : $ a < - 1 \vee a > \frac{5}{4} $

b. Phương trình (*) có một nghiệm khi và chỉ khi phương (1) có một nghiêm bằng 0 và nghiệm kia là nghiệm âm hoặc nghiệm kép bằng 0
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 0\\
S < 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 0\\
S = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 1 = 0\\
2a - 1 < 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{5}{4}\\
2a - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \pm 1\\
a < \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = - 1
\end{array} $
Vậy ta phải có $ a = - 1 $

c. Phương trình (*) có 2 nghiệm $ \Leftrightarrow $ (1) có 1 nghiệm dương, 1 nghiệm âm hoặc nghiệm kép dương
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow P < 0 \vee \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 0\\
S > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow - 1 < a < 1 \vee \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{5}{4}\\
2a - 1 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow - 1 < a < 1 \vee a = \frac{5}{4}
\end{array} $
Vậy các giá trị a phải tìm là: $ - 1 < a < 1 \vee a = \frac{5}{4} $

d. (*) có 3 nghiệm khi (1) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm = 0.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta>0\\ P=0\\S>0 \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a\leq \frac{5}{4}\\ a=\pm 1\\a\geq \frac{1}{2}\end{array} \right. \right.\Rightarrow a=1$.

Bài 102520

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102520

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan