|
|
$x=0$ không là nghiệm của phương trình $(1)$, chia 2 vế của phương trình (1) cho $ {x^2} \ne 0, $ ta có :
$ (1) \Leftrightarrow ({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}) + a(x + \frac{1}{x}) + a = 0 $
Đặt $ x + \frac{1}{x} = t, $ với $ |t| \ge 2\,\,\,\,(*) \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2, $
Ta có: $f(t) = {t^2} + at + a - 2 = 0\,\,\,\,(2)$
$ \begin{array}{l}
1. Khi \,\,\,\,a = \frac{1}{2};
(2) \Rightarrow {t^2} + \frac{1}{2}t - \frac{3}{2} = 0
\end{array} \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2{t^2} + t - 3 = 0
\Leftrightarrow t = 1;t = \frac{3}{2}
\end{array} $
Đối chiếu điều kiện (*) $ \Rightarrow $ (1) vô nghiệm.
2. Ta có: $ \Delta = {a^2} - 4(a - 2) = {a^2} - 4a + 8 > 0\forall a $ $ \Rightarrow (2) $ luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt $ {t_1};{t_2}. $
Giả sử $ {t_1} < {t_2}. $
a. Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow (2) $ có một nghiệm $ {t_0} \notin \left[ { - 2;2} \right] $ $ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow {t_1} < - 2 < {t_2} < 2; - 2 < {t_1} < 2 < {t_2}\\
\Leftrightarrow f( - 2).f(2) < 0\\
\Leftrightarrow (2 - a)(3a + 2) < 0\\
\Leftrightarrow a < - \frac{2}{3};a > 2
\end{array} $
Vậy các giá trị a phải tìm là : $ a < - \frac{2}{3};a > 2 $
b. Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow (2) $ có 2 nghiệm phân biệt $ {t_1};{t_2} $ thỏa điều kiện (*).
Giả sử
$ {t_1} < {t_2} \begin{array}{l}
\Leftrightarrow {t_1} < {t_2} < - 2\,;\,2 < {t_1} < {t_2}.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f( - 2) > 0\\
- 2 > - \frac{a}{2}
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
3a + 2 > 0\\
2 < - \frac{a}{2}
\end{array} \right.\end{array}$
$
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 2\\
a > 4
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
a > - \frac{2}{3}\\
a < - 4
\end{array} \right.
$
Vậy không có giá trị nào của a để (1) có 4 nghiệm phân biệt.
|