Từ giả thiết $|a|\leq 1$, đặt $a=\cos 2\alpha, \alpha\in [0;\frac{\Pi}{2}]$.
Khi đó:
$VT=(1-\cos 2\alpha)^n+(1+\cos 2\alpha)^n=2^n\sin^{2n} \alpha+2^n\cos ^{2n} \alpha\\=2^n(\sin^{2n} \alpha+ \cos ^{2n} \alpha)$
$\leq 2^n=VP$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $\sin^{2n} \alpha+ \cos ^{2n} \alpha=1$.(*)
Đặt $
\sin^{2} \alpha =t (t\in (0;1)),$ khi đó $\cos ^{2} \alpha=1-t$
(*) trở thành: $t^n+(1-t)^n=1$
Do $t\in (0;1)$ nên $t^n\leqslant t$ ,$(1-t)^n\leq 1-t$ $\Leftrightarrow t^n+(1-t)^n\leq 1$. Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow $ $n=1$(loại do $n\geq 2$) hoặc $t=0$ hoặc $t=1$.
$t=0\Leftrightarrow a=1$
$t=1\Leftrightarrow a=-1$
Ta có đpcm.