|
|
Ta có: $ (1) \Leftrightarrow {(x - 3a)^2} \ge 4{(x - 1)^2}\,\,\,\,\,(3) $
$ (2) \Leftrightarrow {(x - 2a)^2} \ge a\,\,\,\,(4) $
Bất phương trình (4) thỏa $ \forall x $ khi $ a \le 0 $ $ \Rightarrow $ các giá trị $ a \le 0 $ thỏa yêu cầu của bài toán.
Xét trường hợp a > 0:
Ta có:
Tập nghiệm của (3), tức là của (1), là : $ {E_1} = ( - \infty ;3a - 2.|a - 1|) \cup (3a + 2|a - 1|; + \infty ) $
Tập nghiệm của (4), tức của (2), là: $ {E_2} = ( - \infty ;2a - \left. {\sqrt a } \right] \cup \left[ {2a + \sqrt {a; + \infty } )} \right. $
Nếu tồn tại a > 0 sao cho $ 3a + 2|a - 1| \le 2a - \sqrt a \,\,\,\,(*) $
Hoặc $ 2a + \sqrt a \le 3a - 2|a - 1|\,\,\,\,(**) $
Thì đối với những trị a đó, bất kỳ một số thực x nào cũng là nghiệm của ít nhất một trong hai bất phương trình đã cho:
Ta có:
$ (*) \Leftrightarrow a + \sqrt a + 2|a - 1| \le 0; $ vô nghiệm
$ (**) \Leftrightarrow \sqrt a \le a - 2|a - 1|\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5) $
a. Nếu $ a \ge 1; $ ta có: $ (5) \Rightarrow \sqrt a \le 2 - a\,\,\,\,(6) $
(6) thỏa khi và chỉ khi
$ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a \ge 1\\
a < 2\\
a \le {a^2} - 4a + 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 \le a \le 2\\
{a^2} - 5a + 4 \ge 0
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 \le a < 2\\
a \le 1\,\,\,Va \ge 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1
\end{array} $
b. Nếu $ 0 < a < 1, $ ta có: $ (5) \Rightarrow \sqrt a \le 3a - 2\,\,\,\,\left( 7 \right) $
(7) thỏa khi và chỉ khi $ \left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
3a - 2 > 0\\
9{a^2} - 13a + 4 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
a > \frac{2}{3}\\
a \le \frac{4}{9}\,\,\,V\,\,a \ge 1
\end{array} \right. $
Vậy Tập các giá trị a phải tìm là
$ ( \frac{2}{3} ;\left. \frac{4}{9}\right] \cup \{ 1\} $
|