|
|
Điều kiện $ 2 \le x \le 4\,\,\,\,\,(*) $
*Cách 1: Dùng bất đẳng thức.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta có :
$ \begin{array}{l}
{(\sqrt {x + 2} + \sqrt {4 - x} )^2} \le \left( {x - 2 + 4 - x} \right).2 = 4\\
\Rightarrow \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} \le 2
\end{array} $
Mặt khác ta lại có: $ {x^2} - 6x + 11 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 2 \ge 2 $
Do đó (1) chỉ có thể có nghiệm khi và chỉ khi hai vế đồng thời bằng 2.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 2} = \sqrt {4 - 2} = 1\\
x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3, $ thỏa (*)
Vậy nghiệm của (1) là : $x=3$
*Cách 2: Dùng ẩn số phụ:
Đặt $ t = x - 3 $ với $ - 1 \le t \le 1 $
Ta có:
$ (1) \Leftrightarrow \sqrt {1 + t} + \sqrt {1 - t} = {t^2} + 2 $ với $ - 1 \le t \le 1 $
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow (\sqrt {1 + t} - 1) + \left( {\sqrt {1 - t} - 1} \right) = {t^2}\\
\Leftrightarrow \frac{t}{{\sqrt {1 + t} + 1}} - \frac{t}{{\sqrt {1 - t} + 1}} - {t^2} = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
\frac{1}{{\sqrt {1 + t} + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {1 - t} + 1}} = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.
\end{array} $
Ta hãy giải phương trình (2)
Nhận xét rằng (2) có nghiệm t = 0
Nếu $ t > 0 \Rightarrow \sqrt {1 + t} + 1 > \sqrt {1 - t} + 1 > 0 $ $ \Rightarrow $ vế trái của (2) âm,vế phải dương.
Nếu $ t < 0 \Rightarrow \sqrt {1 + t} + 1 < \sqrt {1 - t} + 1 $ $ \Rightarrow $ (1) có nghiệm duy nhất x=3
*Cách 3.
Với điều kiện $ 2 \le x \le 4 $ , bình phương 2 vế, ta có: $ 2 + 2\sqrt {{x^2} - 6x + 8} = {\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 2} \right]^2} $
Đặt $ y = {\left( {x - 3} \right)^2},y \ge 0, $ ta có:
$ \begin{array}{l}
2\sqrt {1 - y} = {\left( {y + 2} \right)^2} - 2 = {y^2} + 4y + 2\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le y \le 1\\
4\left( {1 - y} \right) = {\left( {{y^2} + 4y + 2} \right)^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le y \le 1\\
y\left( {{y^3} + 8{y^2} + 20y + 20} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le y \le 1\\
\left[ \begin{array}{l}
y = 0\\
{y^3} + 8{y^2} + 20y + 20 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} $
Trên đoạn $ \left[ {0;1} \right],\left( 3 \right) $ vô nghiệm.
Vậy (1) có nghiệm duy nhất $x = 3$
|