|
|
Ta có $ c + d = 3 \Leftrightarrow d = 3 - c $
Do đó
$ \begin{array}{l}
y = ac + bd + cd = ac + b\left( {3 - c} \right) + c\left( {3 - c} \right)\\
\Leftrightarrow y = - {c^2} + \left( {a - b + 3} \right)c + 3b \Rightarrow y \le - \frac{\Delta }{{4a}}\\
\Rightarrow y \le \frac{{ - 12b - {{\left( {a - b + 3} \right)}^2}}}{{ - 4}} = \frac{{12b + {{\left( {a - b + 3} \right)}^2}}}{4}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{12b + {{\left( {a - b} \right)}^2} + 6\left( {a - b} \right) + 9}}{4}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab + 6\left( {a - b} \right) + 9}}{4}
\end{array} $
Ta thấy $ \begin{array}{l}
2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - 1
\Rightarrow y \le \frac{{ - {{\left( {a + b} \right)}^2} + 6\left( {a + b} \right) + 11}}{4}
\end{array} $
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có: $ \begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right).2 = 2
\Rightarrow a + b \le \sqrt 2
\end{array} $
Xét hàm :
$ f\left( x \right)$ = $-X^{2}$+ $6X$+$11$ có $ f\left( x \right)$ đồng biến trên $(-\infty;\sqrt{2} )$ nên
$ f\left( x \right)$ $\leq$
$ f\left( \sqrt{2} \right)$ $\forall$ x$\in$ $(-\infty;\sqrt{2} )$
Do đó: $ y \le \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{4} $
|