Bài 103028

Question

Cho họ đường tròn $(C_a)$ có phương trình:
$(C_a):x^2+y^2-(a-2)x+2ay-1=0$
a. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn $(C_a)$.
b. Chứng tỏ rằng khi a thay đổi, các đường tròn $(C_a)$ luôn đi qua hai điểm cố định. Tìm các điểm đó.
c. Cho a $=-2$ và điểm $Q(3;0)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C_{-2})$ kẻ từ $Q$

score 0 · Answer 1

a.
Ta có $(C_a):\left ( x-\frac{a-2}{2}\right )^2+(y-a)^2=\frac{5a^2}{4}-a$
Nên $(C_a)$ có tâm $I\left (\frac{a-2}{2};a \right )$
Quỹ tích tâm $I$ các đường tròn $(C_a)$ là đường thẳng $(d):2x+y+2=0$

b.
Giả sử đường tròn cần tìm luôn qua $M(x;y)$ cố định.
Ta có $(C_a):x^2+y^2+2x-1-ax+2ay=0$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} x=2y\\ x^2+y^2+2x-1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2y\\ 5y^2+4x-1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2y\\ y\in\left\{ {-1;\frac{1}{5}} \right\} \end{array} \right.$
Các đường tròn $(C_a)$ luôn đi qua hai điểm cố định $M_1(-2;-1)$ và $M_2\left ( \frac{2}{5};\frac{1}{5}\right )$.

c.
Đường thẳng qua Q có phương trình
$\Delta:k(x-3)+ly=0 (k^2+l^2>0)$
$C_{-2}$ có tâm $I(-2;-2);R=\sqrt7$
$\Delta$ là tiếp tuyến của (C) khi
$d(I;\Delta)=R$.
$\Leftrightarrow \frac{|-2k-3k-2l|}{\sqrt{k^2+l^2}}=\sqrt7$
$\Leftrightarrow (5k+2l)^2=7(k^2+l^2)$
$\Leftrightarrow 19k^2+20kl-3l^2=0$
Dễ thấy $k;l\neq 0$, đặt $k=m.l(m\in R)$
Qua $Q(3;0)$ kẻ được hai tiếp tuyến $(d_1),(d_2)$ tới $(C)$, với:
$(d_1):(45+12\sqrt{5})x-(18-12\sqrt{5})y-35=0$
$(d_2):(45-12\sqrt{5})x-(18+12\sqrt{5})y-135=0$

Bài 103028

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103028

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan