a) \(A(n)=n^{3}+3n^{2}+5n+3\).
.Với
\(n=0\), \(A(0)=3\) chia hết cho \(3\).
.Giả
sử \(A(k)=k^{3}+3k^{2}+5k+3\) chia hết cho \(3\).
Ta
có: \(A(k+1)=(k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+5(k+1)+3\)
\(=(k^{3}+3k^{2}+5k+3)+3(k^{2}+3k+3)\)
chia hết cho \(3\).
Vậy
mệnh đề đã nêu là đúng.
b) Với \(n=5\) ta có: \(2^{5}=32>25=5^{2}\). Mệnh đề
đúng với \(n=5\).
Giả
sử mệnh đề đúng với \(n=k>5\), nghĩa là ta có: \(2^{k}>k^{2}\).
Khi
đó: \(2^{k+1}=2.2^{k}>2k^{2}\).
Xét
hiệu: \(2k^{2}-(k+1)^{2}=k^{2}-2k-1=(k-1)^{2}-2>0 với k>5\).
Chứng
tỏ: \(2^{k+1}>2k^{2}>(k+1)^{2}\), mệnh đề đúng với \(n=k+1\).
Vậy
mệnh đề đúng với mọi \(n\in N, n\geq 5\).