Bài 103235

.Với $n=0$, $A(0)=3$ chia hết cho $3$.

.Giả sử $A(k)=k^{3}+3k^{2}+5k+3$ chia hết cho $3$.

Ta có: $A(k+1)=(k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+5(k+1)+3$

$=(k^{3}+3k^{2}+5k+3)+3(k^{2}+3k+3)$ chia hết cho $3$.

Vậy mệnh đề đã nêu là đúng.

b)    Với $n=5$ ta có: $2^{5}=32>25=5^{2}$. Mệnh đề đúng với $n=5$.

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k>5$, nghĩa là ta có: $2^{k}>k^{2}$.

Khi đó: $2^{k+1}=2.2^{k}>2k^{2}$.

Xét hiệu: $2k^{2}-(k+1)^{2}=k^{2}-2k-1=(k-1)^{2}-2>0 với k>5$.

Chứng tỏ: $2^{k+1}>2k^{2}>(k+1)^{2}$, mệnh đề đúng với $n=k+1$.

Vậy mệnh đề đúng với mọi $n\in N, n\geq 5$.