Bài 103241

Question

Cho

$1\geq n \in N,a_{i},b_{i} \in R,i=1,2,...,n$ .Hãy chứng minh rằng:

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}).(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})$

score 0 · Answer 1

$n=1$ :Bất đẳng thức luôn đúng.

$n=k (k \in N,k\geq 2)$ : Giả sử bất đẳng thức đúng,tức là:

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{k}b_{k})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}).(b_{1}^{2}+...+b_{k}^{2})$

$n=k+1$ : ta cần chứng minh:

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{k}b_{k}+a_{k+1}b_{k+1})^{2}$

$\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}+a_{k+1}^{2}).(b_{1}^{2}+...+b_{k}^{2}+b_{k+1}^{2})$

$(1)$
Thật vậy:
VP

$(1)=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}).(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{k}^{2})+(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}).b_{k+1}^{2}$

$a_{k+1}^{2}(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{k}^{2})+a_{k+1}^{2}b_{k+1}^{2}\geq$

$\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{k}b_{k})^2+2a_{1}.b_{1}.a_{k+1}.b_{k+1}+2a_{2}.b_{2}.a_{k+1}.b_{k+1}$

$+...+2a_{k}.b_{k}.a_{k+1}.b_{k+1}+a_{k+1}^{2}b_{k+1}^{2}\geq$

(vì $a_i^2.b^2_{k+1}+a^2_{k+1}b^2_i\geq 2a_ib_ia_{k+1}b_{k+1}$ )

$\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{k}b_{k})^{2}+2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{k}b_{k}).a_{k+1}b_{k+1}+a_{k+1}^{2}b_{k+1}^{2}$

$\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{k}b_{k}+a_{k+1}b_{k+1})^{2}$
vậy

$(1)$ được chứng minh

$\Rightarrow$ (ĐPCM)

1 Đáp án