Bài 103520

Question

Cho $\triangle ABC$ có diện tích bằng $4$ (đơn vị diện tích).Trên các cạnh $BC,CA,AB$ lấy lần lượt các điểm $A',B',C'$.Chứng minh rằng:
Trong tất cả các tam giác $AB'C',A'BC',A'B'C'$ có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hay bằng $1$ (đơn vị diện tích).

score 0 · Answer 1

Đặt: $\begin{cases}S_{A}=S_{\triangle AB'C'}\\ S_{B}=S_{\triangle A'BC'} \\ S_{c}=S_{\triangle A'B'C'} \\ S=S_{\triangle ABC}=4\end{cases}$ và: $\begin{cases}a=\frac{AC'}{AB} \in (0,1) \\ b=\frac{BA'}{BC} \in (0,1) \\ a=\frac{CB'}{CA} \in (0,1) \end{cases}$
Lúc đó:
$\frac{S_{A}}{S}=\frac{\frac{1}{2}.AC'.AB'. \sin A}{\frac{1}{2}.AB.AC. \sin A}=a.\frac{AB'}{AC}=a(1-c)$
$\Rightarrow S_{A}=4a(1-c)$
Tương tự ta có:
$S_{B}=4b(1-a)$
$S_{C}=4c(1-b)$
Không mất tính tổng quát ta giả sử: $c>a; c>b$
Ta có: $S_{A}=4a(1-c) \leq 4c(1-c) \leq 1-(2c-1)^{2} \leq 1$
$\Rightarrow S_{A} \leq 1 \Rightarrow $ (ĐPCM)

Bài 103520

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103520

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan