|
|
$1)$ Lấy lôgarit thập phân, ta có hệ:$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + y} \right)\lg x = 12\lg y\\
\left( {x + y} \right)\lg y = 3\lg x
\end{array} \right.$
Nhận xét $\lg x = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\lg y = 0\,\,\,$nên $(1,\,1)$ là $1$ nghiệm
Giả sử $\lg x \ne 0,\,\,\,\lg y \ne 0$, chia các phương trình theo vế:
$\frac{{\lg x}}{{\lg y}} = 4\frac{{\lg y}}{{\lg x}}$ giải ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 2
\end{array} \right.$
ĐS: $(1,\,1)\,\,;\,\,(4,\,2)$
$2)$ $x \pm y \ne 0$
Lấy lôgarit cơ số $2$ hai vế phương trình ${x^2} - {y^2} = 1$
Ta có hệ :
$\left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1\\
{\log _2}\left( {x + y} \right) + {\log _2}\left( {x - y} \right) = 0
\end{array} \right.$
Từ đó : ${\log _2}\left( {x + y} \right) = \frac{1}{{1 + {{\log }_2}3}};\,\,\,\,{\log _2}\left( {x - y}
\right) = - \frac{1}{{1 + {{\log }_2}3}}$
ĐS : $\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\left( {{2^M} + {2^{ - M}}} \right)\\
y = \frac{1}{2}\left( {{2^M} - {2^{ - M}}} \right)
\end{array} \right.$ với $M = \frac{1}{{1 + {{\log }_2}3}}$
|