Bài 104315

Question

$1$. Giải phương trình:
$\cot {2^x} = \tan {2^x} + 2\tan {2^{x + 1}}$
$2$. Tam giác nhọn $ABC$ có các góc thỏa mãn hệ thức :
$\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} = \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} +
\frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}$
Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác đều.

score 0 · Answer 1

$1.$
$cot \alpha -\tan\alpha =\frac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos\alpha.sin\alpha}=\frac{cos2\alpha}{\frac{1}{2}sin2\alpha}=2\cot2\alpha$
nên có thể biến dổi phương trình đã cho như sau :
$\cot2^x-\tan2^x=2\tan^{2x+1}\Leftrightarrow 4\cot2^{x+2}=0$
$2^{x+2}=\frac{(2k+1)\pi}{2} (k=0,1,2;...)$
$\Leftrightarrow 2^{x+3}=(2k+1)\pi$
ĐS : $x=-3+log_2(2k+1)\pi $ với $k=0;1;2...$
$2.$
$\Delta ABC$ nhọn nên $cosA,cosB,cosC>0$.Do đó :
$\frac{1}{cosA}\frac{1}{cosB}\geq \frac{2}{\sqrt{cosA.cosB}}$
Mà $cosA.cosB=\frac{1}{2}(cos(A-B)+cos(A+B))\leq \frac{1}{2}(1+cos(A+B))$
$\Rightarrow cosA.cosB\leq cos^2\frac{A+B}{2}=sin^2\frac{C}{2}$
do đó
$\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}\geq \frac{1}{sin\frac{C}{2}}$
Viết $2$ bất đẳng thức tương tự và cộng lại ta có
$\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}}\geq \frac{1}{sin\frac{A}{2}}+\frac{1}{sin\frac{B}{2}}+\frac{1}{sin\frac{C}{2}} \forall \Delta$ nhọn
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1$
$\Leftrightarrow A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Bài 104315

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104315

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan