1. Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Để giải các phương trình lượng giác này, ta chọn một biểu thức lượng giác thích hợp có mặt trong phương trình làm ẩn phụ và quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với ẩn phụ đó( có thể nêu hoặc không nêu ký hiệu ẩn phụ)
a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Giải phương trình √3tan2x+3=0
⇔tan2x=−3√3⇔tan2x=−√3⇔tan2x=tan(−π3)⇔2x=−π3+kπ⇔x=−π6+kπ2
b) Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 2: Giải phương trình sau 2sin2x+5sinx−3=0
Đặt sinx=t (Với |t|⩽1), ta được phương trình 2t2+5t−3=0. Phương trình này có hai nghiệm là t1=−3 và t2=12, trong đó t1 bị loại do không thỏa mãn
điều kiện |t1|⩽1. Suy ra:
2sin2x+5sinx−3=0⇔sinx=12⇔sinx=sinπ6⇔[x=π6+k2πx=5π6+k2π
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x=π6+k2π và x=5π6+k2π
2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Trong mục này, nghiên cứu cách giải các phương trình dạng
asinx+bcosx=c
trong đó a,b và c là những hằng số đã cho, a≠0 hoặc b≠0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x.
- Để giải phương trình asinx+bcosx=c(a,b≠0) ta biến đổi biểu thức asinx+bcosx thành dạng Csin(x+α)hoặc dạng Ccos(x+γ) (C,α,γlà những hằng số)
- Ví dụ: giải phương trình
√3sin x - cosx=1 (1)
Ta có:
√3sinx−cosx=2(√32sinx−12cosx)=2(sinxcosπ6−cosxsinπ6)=2sin(x−π6)(1)⇔sin(x−π6)=12⇔sin(x−π6)=sinπ6⇔[x−π6=π6+k2πx−π6=5π6+k2π⇔[x=π3+k2πx=π+k2π
Tổng quát: biến đổi biểu thức asinx+bcosx=c (với a, b khác 0) thành dạng
Csin(x+α)=c như sau:
asinx+bcosx=√a2+b2(a√a2+b2sinx+b√a2+b2cosx)
Chọn β để sinβ=a√a2+b2,cosβ=b√a2+b2 thì ta có : asinx+bcosx=√a2+b2cos(x−β)
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x:
Trong mục này, chúng ta nghiên cứu cách giải phương trình dạng
asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0,
trong đó a, b và c là những số đã cho, với a khác 0 hoặc b khác 0 hoặc c khác 0, gọi là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx hoặc cosx.
- Để giải phương trình này, ta chia hai vế cho cos2x (với điều kiện cos x khác 0) để đưa phương trình đối với tanx, hoặc chia hai về cho sin2x( với điều kiện sin x khác 0) để đưa về phương trình đối với cotx.
- Ta cũng có thể dùng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa về dạng pt bậc nhất với sin2x và cos2x.
Ví dụ: giải phương trình
4sin2x−5sinxcosx−6cos2x=0
giải: khi cosx=0 thì sinx=±1 nên dễ thấy các giá trị của x mà cos x = 0 không phải là nghiệm của (3)
Chia hai vế của (3) cho cos2x, ta được phương trình tương đương:
4sin2xcos2x−5sinxcosx−6=0
Do đó (3) ⇔4tan2x−5tanx−6=0⇔[tanx=2tanx=−34⇔[x=arctan2+kπx=arctan(−34)+kπ
Vậy các nghiệm của phương trình (3) là x=arctan2+kπ và x=arctan(−34)+kπ
|