1. Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Để giải các phương trình lượng giác này, ta chọn một biểu thức lượng giác thích hợp có mặt trong phương trình làm ẩn phụ và quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với ẩn phụ đó( có thể nêu hoặc không nêu ký hiệu ẩn phụ)
a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt 3 \tan 2x + 3 = 0$
$\begin{gathered}
\Leftrightarrow \tan 2x = - \frac{3}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \tan 2x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan 2x = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \\
\Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2} \\
\end{gathered} $
b) Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 2: Giải phương trình sau $2{\sin ^2}x + 5\sin x - 3 = 0$
Đặt $\sin x = t$ (Với $\left| t \right| \leqslant 1$), ta được phương trình $2{t^2} + 5t - 3 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm là ${t_1} = - 3$ và ${t_2} = \frac{1}{2}$, trong đó ${t_1}$ bị loại do không thỏa mãn
điều kiện $\left| {{t_1}} \right| \leqslant 1$. Suy ra:
$2{\sin ^2}x + 5\sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow \operatorname{s} {\text{inx}} = \frac{1}{\begin{gathered}
2 \\
\\
\end{gathered} } \Leftrightarrow \operatorname{s} {\text{inx}} = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ {_{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }^{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }} \right.$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi $ và $x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi $
2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Trong mục này, nghiên cứu cách giải các phương trình dạng
$a\sin x + b\cos x = c$
trong đó a,b và c là những hằng số đã cho, $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$ được gọi là phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x.
- Để giải phương trình $a\sin x + b\cos x = c (a, b \neq 0)$ ta biến đổi biểu thức $a\sin x + b\cos x$ thành dạng $C\sin (x+\alpha)$hoặc dạng $Cc{\text{os}}(x + \gamma )$ ($C,\alpha ,\gamma $là những hằng số)
- Ví dụ: giải phương trình
$\sqrt 3 \operatorname{s} {\text{in x - }}\cos x = 1$ (1)
Ta có:
$\begin{gathered}
\sqrt 3 \operatorname{s} {\text{inx}} - \cos x = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x} \right) = 2\left( {\sin {\text{x}}\cos \frac{\pi }{6} - \cos x\sin \frac{\pi }{6}} \right) = 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \\
(1) \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} \\
\Leftrightarrow \left[ {_{x - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }^{x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi }} \right. \Leftrightarrow \left[ {_{x = \pi + k2\pi }^{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }} \right. \\
\\
\\
\end{gathered} $
Tổng quát: biến đổi biểu thức $a\sin x + b\cos x = c$ (với a, b khác 0) thành dạng
$C\sin (x + \alpha ) = c$ như sau:
$\begin{gathered}
a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \\
\\
\end{gathered} $
Chọn $\beta $ để $\sin \beta = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},c{\text{os}}\beta = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ thì ta có : ${\text{a}}\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} c{\text{os}}(x - \beta )$
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x:
Trong mục này, chúng ta nghiên cứu cách giải phương trình dạng
$a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = 0,$
trong đó a, b và c là những số đã cho, với a khác 0 hoặc b khác 0 hoặc c khác 0, gọi là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx hoặc cosx.
- Để giải phương trình này, ta chia hai vế cho $c{\text{o}}{{\text{s}}^2}x$ (với điều kiện cos x khác 0) để đưa phương trình đối với $\tan x$, hoặc chia hai về cho ${\sin ^2}x$( với điều kiện sin x khác 0) để đưa về phương trình đối với $\cot x$.
- Ta cũng có thể dùng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa về dạng pt bậc nhất với sin2x và cos2x.
Ví dụ: giải phương trình
$4{\sin ^2}x - 5\sin x\cos x - 6{\cos ^2}x = 0$
giải: khi $\cos x = 0$ thì $\sin x = \pm 1$ nên dễ thấy các giá trị của x mà cos x = 0 không phải là nghiệm của (3)
Chia hai vế của (3) cho $c{\text{o}}{{\text{s}}^2}x$, ta được phương trình tương đương:
$4\frac{{{{\sin }^2}x}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}x}} - 5\frac{{\operatorname{s} {\text{inx}}}}{{\cos x}} - 6 = 0$
Do đó (3) $ \Leftrightarrow 4{\tan ^2}x - 5\tan x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {_{\tan x = - \frac{3}{4}}^{\tan x = 2}} \right. \Leftrightarrow \left[ {_{x = \arctan \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi }^{x = \arctan 2 + k\pi }} \right.$
Vậy các nghiệm của phương trình (3) là $x = \arctan 2 + k\pi $ và $x = \arctan \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi $
|