Bài 104348

Question

Cho $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:
$a) \sin^{2} A+ \sin^{2} B+ \sin^{2} C \leq \frac{9}{4}$
$b)m_{a}+m_{b}+m_{c} \leq \frac{9R}{2}$ với $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài $3$ trung tuyến xuất phát từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$.

score 0 · Answer 1

a)Ta có : $\sin^{2} A+ \sin^{2} B+ \sin^{2} C-\frac{9}{4}$
$=1-\cos^{2} A+\frac{1}{2}(1-\cos 2B)+\frac{1}{2}(1-\cos 2C)-\frac{9}{4}$
$=2-\cos^{2} A+\frac{1}{2}(\cos 2B+\cos 2C)-\frac{9}{4}$
$=-\cos^{2} A-\cos(B+C).\cos(B-C)-\frac{1}{4}$
Xét : $f(t)=-t^{2}+\cos(B-C).t-\frac{1}{4}$ (với $t=\cos A$)
$\Delta=\cos^{2}(B-C)-1=-\sin^{2}(B-C) \leq 0 \Rightarrow f(t) \leq 0$ với $\forall t \in R$
$\Rightarrow \sin^{2} A+ \sin^{2} B+ \sin^{2} C \leq \frac{9}{4}$
b)Theo BĐT Bunhiacopski:
$(m_{a}+m_{b}+m_{c})^{2} \leq 3(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})=$
$=\frac{9}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9R^{2}(\sin^{2} A+ \sin^{2} B+ \sin^{2} C )$$\leq 9.R^{2}.\frac{9}{4}=\frac{81}{4}R^{2}$
$\Rightarrow m_{a}+m_{b}+m_{c} \leq \frac{9}{2}R $
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

Bài 104348

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104348

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan