Bài 104473

Question

Giải các phương trình:
a/

$\sqrt{ \log_{2}{\left(2x^{2}\right)} . \log_{4}{\left(16x\right)}}=\log_{4}{x^{3}}$
b/

$\log_{0,5}{x^{2}}-14\log_{16x}{x^{3}}+40\log_{4x}{\sqrt{ x}}=0$
c/

$\left(x+2\right).\log_{3}^{2}{\left(x+1\right) } +4 \left(x+1\right) \log_{3}{\left(x+1\right) }-16=0$
d/

$\lg \left(3^{x}-2^{4-x}\right) =2+\frac{1}{4}. \lg16 -\frac{x}{2}. \lg 4$

score 0 · Answer 1

a/

$\sqrt{ \log_{2}{\left(2x^{2}\right)} . \log_{4}{\left(16x\right)}}=\log_{4}{x^{3}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{ \left(1+2\log_{2}{x}\right) .\frac{1}{2} \left(4+\log_{2}{x}\right) }=\frac{3}{2}. \log_{2}{x}(*)$
điều kiện

$\begin{cases}x>0 \\ \left(1+2\log_{2}{x}\right) .\frac{1}{2} \left(4+\log_{2}{x}\right) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>0 \\ \log_{2}{x} \leq -4 ; \log_{2}{x}\geq \frac{-1}{2} \end{cases}$
với điều kiện

$(*) \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\left(1+2\log_{2}{x}\right) .\frac{1}{2} \left(4+\log_{2}{x}\right)=\frac{9}{4}.\log_{2}^{2}{x}$

$\Leftrightarrow 2 \left(2\log_{2}^{2}{x}+9\log_{2}{x}+4 \right)=9 \log_{2}^{2}{x}$

đặt

$\log_{2}{x}=t$
được phương trình

$5t^{2}-18t-8=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=\frac{-2}{5}\\t=4\end{array} \right.$

$\Rightarrow t=\frac{-2}{5} \Rightarrow \log_{2}{x}=\frac{-2}{5} \Leftrightarrow x=2^{\frac{-2}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$

$t=4 \Rightarrow \log_{2}{x}=4 \Leftrightarrow x=2^{4}=16$
hai nghiệm

$x=\frac{1}{\sqrt[5]{4}}, x=16$ thỏa các điều kiện.

b/

$\log_{0,5x}{x^{2}}-14\log_{16x}{x^{3}}+40\log_{4x}{\sqrt{ x}}=0$
điều kiện:

$x >0, x\neq 2; x \neq \frac{1}{16}, x\neq \frac{1}{4}, x\neq 1$

với các điều kiện trên, biến đổi

$(*)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{\frac{1}{2}x}{x}-42\log_{16x}{x}+20\log_{4x}{x}=0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{\log_{x}{\frac{x}{2}}}-\frac{42}{\log_{x}{16x}}+\frac{20}{\log_{x}{4x}} =0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1- \log_{x}{2}}-\frac{21}{1+4\log_{x}{2}}+\frac{10}{1+2\log_{x}{2}}=0$
đặt

$\log_{x}{2}=t,$ được phương trình

$\frac{1}{1-t}-\frac{21}{1+4t}+\frac{10}{1+2t}=0$

$\Leftrightarrow \left(x\right) \left(x\right) -21 \left(x\right) \left(x\right) +10 \left(x\right) \left(x\right) =0$

$\Leftrightarrow 8t^{2}+6t+1+42t^{2}-21t-21-40t^{2}+30t+10=0 \Leftrightarrow 10t^{2}+15t-10=0$

$\Leftrightarrow 2t^{2}+3t-2=0 \Leftrightarrow t=-2; t=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\log_{x}{2}= -2 \Leftrightarrow x=\frac{1}{ \sqrt{ 2}}\\\log_{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x=4 \end{array} \right.$

c/

$\left(x+2\right).\log_{3}^{2}{\left(x+1\right) } +4 \left(x+1\right) \log_{3}{\left(x+1\right) }-16=0$
điều kiện:

$x>-1$
coi vế trái là tam thức bậc hai của

$\log_{3}{\left(x+1\right)}$ , với

$a= x+2, b= 4 \left(x+1\right) , c=-16$

$\Delta'= 4 \left(x+1\right) ^{2}+16\left(x+2\right)=4 \left(x+1\right) ^{3} \Rightarrow \sqrt{ Delta'}=2x+6$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\log_{3}{\left(x+1\right)}=\frac{-2x-2+2x+6}{x+2}=\frac{-4x-8}{x+2}=-4(1)\\\log_{3}{\left(x+1\right)}=\frac{-2x-2+2x+6}{x+2}=\frac{4}{x+2}(2)\end{array} \right.$

$(1)$ cho