Bài 104523

Question

Biện luận theo tham số $a$ về số nghiệm của phương trình :
$\sqrt {2 - x^2} {sinx} + \sqrt {2 + x^2} \cos x = \left| {a + 1} \right| + \left| {a - 1} \right|$

score 0 · Answer 1

TXĐ : $x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] \subseteq \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$
$VP =|a+1|+|a-1|= |a + 1| + |a - 1| \ge |a + 1 + a - 1| = 2$
Dấu bằng xảy ra khi : $(a + 1)(1 - a) \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le a \le 1$
$VT = \sqrt {2 - {x^2}} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sqrt {2 + {x^2}} \cos x \le $
$\sqrt {2 - {x^2} + 2 + {x^2}} \sqrt {{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} =
2\,(Bunhiacopxki)$
Nếu $|a| > 1$ thì $VP > 2$, VT$ \le 2$ nên pt vô nghiệm.
Nếu $|a| \le 1$ thì $VP = 2, VT \le $ do đó:
Phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
VP = 2\\
VT = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {2 - {x^2}} }}{{{\mathop{\rm s}\nolimits}
{\rm{inx}}}} = \frac{{\sqrt {2 + {x^2}} }}{{{\rm{cosx}}}}$
$ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{2 - {x^2}}}{{2 + {x^2}}}} = {\mathop{\rm t}\nolimits}
{\rm{anx}}$ ($x = 0$ không phải là nghiệm)
Xét $f(x) = \sqrt {\frac{{2 - {x^2}}}{{2 + {x^2}}}} - {\mathop{\rm t}\nolimits}
{\rm{anx}}\,\forall x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] \subseteq \left[ { - \frac{\pi
}{2};\frac{\pi }{2}} \right]$
$a$) $ - \sqrt 2 \le x < 0 \Rightarrow f(x) > 0\forall x \Rightarrow Pt\,vn$
$b$) $0 \le x \le \sqrt 2 ;\,\,\,f(0) = 1 > 0;\,\,f(\sqrt 2 ) = - \tan \sqrt 2 < 0$
$f'(x) = \frac{{ - 4x}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}\sqrt {\frac{{2 - {x^2}}}{{2 + {x^2}}}}
}} - \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} < 0$$ \Rightarrow $Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm
duy nhất trong ${\rm{[}}0;\sqrt 2 {\rm{]}}$
Tóm lại :
+ Nếu $|a| > 1$ thì pt vô nghiệm.
+ Nếu $|a| \le 1$ thì pt có nghiệm duy nhất.

Cách khác : Vẽ đồ thị hai hàm số $y=\sqrt{\frac{2-x^2}{2+x^2}}$ và $y=\tan x$ thấy trong $[-\sqrt{2},\sqrt{2} ] $, hai đồ thị cắt nhau tại $1$ điểm duy nhất $\Rightarrow $ phương trình có nghiệm duy nhất trong $[-\sqrt{2},\sqrt{2} ] $

Bài 104523

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104523

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan