Bài 104586

Question

Chứng minh các BĐT sau :
1) ${1994^{1997}} + {1995^{1997}} < {1996^{1997}}$
2) So sánh $A = \frac{{{{1997}^{1995}} + 1}}{{{{1997}^{1996}} + 1}}$ và $B = \frac{{{{1997}^{1996}} + 1}}{{{{1997}^{1997}} + 1}}$
3) Giả sử $a > b > 0$ : $\frac{{{a^{1998}} - {b^{1998}}}}{{{a^{1998}} + {b^{1998}}}} > \frac{{{a^{1997}} - {b^{1997}}}}{{{a^{1997}} + {b^{1997}}}}$
4) Với $a > 0,b > 0,n \in {Z^ + }$ : ${( {1 + \frac{b}{a}})^n} + {( {1 + \frac{a}{b}})^n} \ge {2^{n + 1}}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/17/2012 2:52:05 PM

1)    BĐT $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1996}}{{1995}}} \right)^{1997}} > 1 + {\left( {\frac{{1994}}{{1995}}} \right)^{1997}}$
Áp dụng BĐT ${\left( {1 + a} \right)^n} \ge 1 + na$ ta có:
VT = ${\left( {1 + \frac{1}{{1995}}} \right)^{1997}} > 1 + 1997.\frac{1}{{1995}} > 1+1>VP$ (đpcm)
2)
Cách 1 : Gỉa sử $A > B$, nhân chéo và chuyển vế dẫn tới :
${1997^{1995}}.{(1997 - 1)^2} > 0$ : đúng
Cách 2 : Xét hàm số
$f(x) = \frac{{{{1997}^x} + 1}}{{{{1997}^{x + 1}} + 1}} = \frac{{{a^x} + 1}}{{{a^{x + 1}} + 1}}$ trên $ x \in [1995, +\infty)$ ( với $a = 1997$)
Ta có : $f'(x) = \frac{{{a^x}\ln a.({a^{x + 1}} + 1) - {{({a^x} + 1)}.a^{x + 1}}.\ln a}}{{{{({a^{x + 1}} + 1)}^2}}} $$ = \frac{{({a^x} - {a^{x + 1}})\ln a}}{{{{({a^{x + 1}} + 1)}^2}}} < 0$. Vậy $f(x)$ nghịch biến, suy ra $f(1995)>f(1996)$ hay $A > B$. (đpcm)
3)
Cách 1. Nhân chéo, chuyển vế dẫn tới :
$a^{1996}b^{1996}.{(a-b)} > 0$ : đúng
Cách 2 : Xét hàm số $f(x) = \frac{{{a^x} - {b^x}}}{{{a^x} + {b^x}}}$ trên $ x \in [1996,+\infty)$ với $a > b > 0$
        ${f^'}(x) = \frac{{2{{\rm{a}}^{\rm{x}}}{{\rm{b}}^{\rm{x}}}{\rm{(lna - lnb)}}}}{{{{{\rm{(}}{{\rm{a}}^{\rm{x}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{x}}}{\rm{)}}}^{\rm{2}}}}} > 0$
Nên f(x) đồng biến, suy ra $ f(1996) < f(1997)$, ta có BĐT cần chứng minh
4) Áp dụng BĐT Cô-si liên tiếp ta được :
$VT \ge {\left( {2\sqrt {\frac{b}{a}} } \right)^n} + {\left( {2\sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^n} $$ = {2^n}\left[ {{{\left( {\sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^n} + {{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} } \right)}^n}} \right] \ge {2^n}.2 = {2^{n + 1}}$

Bài 104586

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104586

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan