Bài 104761

Question

Cho hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{3}{9^{\frac{1}{y}}} = {9^{\frac{x}{{2y}}}}\\
\frac{{x + my}}{x} = \frac{{2x}}{y} - 4
\end{array} \right.$
$1$. Giải hệ trên với $m = 3.$
$2$. Tìm giá trị của $m$ sao cho hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất. Hãy xác định nghiệm duy nhất đó.

score 0 · Answer 1

Viết lại hệ pt dưới dạng:
$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{9^{\frac{1}{y} - \frac{1}{2}}} = {9^{\frac{x}{{2y}}}}\\
1 + m\frac{y}{x} = 2\frac{x}{y} - 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{y} - 1 = \frac{x}{y}\\
m\frac{y}{x} = 2\frac{x}{y} - 5
\end{array} \right.$
$1$) Với $m = 3$, $(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{y} - 1 = \frac{x}{y}\\
3\frac{y}{x} = 2\frac{x}{y} - 5
\end{array} \right.$
Như vậy $t = \frac{x}{y}$ là nghiệm của $\frac{3}{t} = 2t - 5 \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
t = 3\\
t = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{3}{2}\\
y = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2\\
y = 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
$2$) Đặt $t = \frac{x}{y}$ thì $t$ là nghiệm của $\frac{m}{t} = 2t - 5 \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
2{t^2} - 5t - m = 0\\
t \ne 0
\end{array} \right. (2)$
Điều kiện về $t$ : Hệ $\frac{2}{y} - 1 = \frac{x}{y} = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = ty\\
\frac{2}{y} = t + 1 \ne 0\,\,(3)
\end{array} \right.$
Để tính được $x, y$ duy nhất thì pt ($2$) phải có nghiệm kép $\left\{ \begin{array}{l}
t \ne - 1\\
t \ne 0
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta = 25 + 8m = 0 \Leftrightarrow m = - 25/8$
Nghiệm kép $t = 5/4$
Thay $t = 5/4 $ vào ($3$) ta có : $(x ;y) = (10/9 ;8/9)$

Bài 104761

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104761

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan