$1$) Khi $m = 2$ ta có phương trình: ${4^x} - {2.2^{x + 1}} + 4 = 0$
$\Leftrightarrow
4^x-4.2^x+4=0\Leftrightarrow 2^x=2\Leftrightarrow x=1$
$2$) Đặt $t = {2^x} > 0$
$Pt \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + 2m = 0$
Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}\,\,sao\,cho:{x_1} + {x_2} = 3$
$\Leftrightarrow f(t) = 0$ có $2$ nghiệm dương phân biệt $t_1 ; t_2$ thỏa mãn :
${t_1}{t_2} = {2^{{x_1}}}{2^{{x_2}}}$= 8
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P = 8
\end{array} \right. $$\Leftrightarrow\begin{cases}
m^2-2m>0\\ 2m>0\\ 2m=8\end{cases}$$\Leftrightarrow m = 4$