Bài 104795

Question

Cho hàm số:
$y = {x^3} - 3mx + m + 1$
$1$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
$2$. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1.$
$3$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ($C$) vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{9}x$.

score 0 · Answer 1

$1)$ 1. Để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành thì ta cần:
hệ $\begin{cases}y=0 \\ y'=0 \end{cases} $ có nghiệm
$\Leftrightarrow \begin{cases}{x^3} - 3mx + m + 1 = 0\\
3{x^2} - 3m = 0\end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}-2x^3+x^2+1=0 \\ m=x^2 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1)(-2x^2-x-1)=0 \\ m=x^2 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ m=1 \end{cases} $
$2.$ Với $m=1,$ hàm số có dạng:
$y=x^3-3x+2$
* TXĐ: $R$
* Sự biến thiên:
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty }= \mathop {\lim x^3(1-\frac{3}{x^2} +\frac{2}{x^3} )}\limits_{x \to +\infty } =+ \infty $
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to -\infty }=- \infty $
Có: $y'=3x^2-3$
$y'=0 \Leftrightarrow x=\pm1.$
BBT:

Hàm số đồng biến trên $(- \infty ; -1)$ và $(1;+\infty )$
Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$
Hàm số đạt cực đại tại $x=-1, y_{CĐ}=4$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1, y_{CT}=0$
* Đồ thị
$\cap Ox:$ $x^3-3x+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-2 \\ x=1 \end{gathered} \right. $
Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại $(-2;0)$ và $(1;0)$
Giao $Oy$ tại $(0;2)$
$y''=6x$
$y''=0 \Leftrightarrow x=0$
Vậy đồ thị hàm số nhận $(0;2)$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị:

$3)$ Từ giả thiết tiếp tuyến có hệ số góc $k = 9.$
Tại tiếp điểm ta có: $y’ = 9 \Leftrightarrow 3(x^2 – 1) = 9$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 2\,\,(y = 0)\\
x = 2\,\,\,(y = 4)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 9x + 18\\
y = 9x - 14
\end{array} \right.$
Tiếp tuyến tại $(-2,0)$ là $y=9x+18$
Tiếp tuyến tại $(2,4)$ là $y=9x-14$

Bài 104795

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104795

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan