Bài 104879

Question

Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
$x^{2} +2 |x-m|+m^{2} +3m+1 \geq 0(*)$

score 0 · Answer 1

$x^{2} +2 |x-m|+m^{2} +3m+1 \geq 0(*)$
Trường hợp $(1): x \geq m (*) $ trở thành $ x^{2} +2x-2m+ m^{2} +3m+1 \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} +2x+ m^{2} +m+1 \leq 0$
Vế trái có $ \Delta '=1-m^{2} -m -1= -m^{2} -m$
Để bất phương trình có nghiệm, trước hết $ \Delta '>0 \Leftrightarrow -m^{2} -m >0 \Leftrightarrow m^{2} +m <0 \Leftrightarrow -1 <m<0$
Lúc này tam thức cở vế trái có hai nghiệm:
$x_{1} = -1 -\sqrt{ -m^{2} -m}, x_{2}=-1+ \sqrt{ -m^{2} -m}$
Đê bất phương trình $x^{2} +2x+ m^{2} +m+1 \leq 0$ có nghiệm thì
+/$m \leq x_{1} \Leftrightarrow m \leq -1 -\sqrt{ - m^{2} -m} \Leftrightarrow \sqrt{ -m^{2} -m} \leq -m -1$
Vế phải dương khi $m \leq -1$, không thỏa $ -1 <m<0$
$\begin{cases} m > x_{1} \\ m< x_{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > -1 -\sqrt{ - m^{2} -m} \\ m< -1 +\sqrt{ - m^{2} -m}    \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}    -1 -\sqrt{ - m^{2} -m}> -1-m(i) \\     \end{cases} \sqrt{ -m^{2} -m}> m+1(ii)$
$(i) \Leftrightarrow -1<m<0$
$(ii) \Leftrightarrow \begin{cases} -1<m<0 \\    m^{2} +2m+1 < -m^{2} -m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}   -1<m<0 \\ 2 m^{2} +3m+1 <0 \end{cases} \Leftrightarrow -1<m<-\frac{1}{2}$
Trường hợp $(2): x<m (*)$ trở thành $x^{2} +2 \left( -x+m \right) +m^{2} +3m+1 \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} -2x +m +5m+1 \leq 0$
Vế trái có $\Delta '=1-m^{2} -5m-1= -m^{2} -5m$
Để bất phương trình có nghiệm, trước hết $\Delta '>0 \Leftrightarrow 5<m<0$
Lúc này, tam thức ở vế trái có hai nghiệm:
$x_{3}=1-\sqrt{ -m^{2} -5m}; x_{4}= 1+ \sqrt{ -m^{2} -5m}$
Để bất phương trình có nghiệm thì
$m \geq x_{4} \Leftrightarrow m \geq 1+ \sqrt{ -m^{2} -5m} \Leftrightarrow m-1 \geq \sqrt{ -m^{2} -5m}$ vô nghiệm với $-5<m<0$
$\begin{cases} m>x_{3} \\ m<x_{4}    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m>1-\sqrt{ -m^{2} -5m} \\ m< 1+\sqrt{ -m^{2} -5m} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}   \sqrt{ -m^{2} -5m}>1-m (k)\\ m-1< \sqrt{ -m^{2} -5m} (kk) \end{cases} $
$(k) \Leftrightarrow \begin{cases}   -5<m<0 \\ -m^{2} -5m> 1-2m+m^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}   -5<m<0 \\   2mb +3m+1<0 \end{cases} \Leftrightarrow -1<m<-\frac{1}{2}$
$(kk)$ đúng với $-5<m<0$
Giao nghiệm được $-1<m<-\frac{1}{2}$
Trường hợp $(1)$ , Trường hợp $(2) \Rightarrow -1<m<-\frac{1}{2} $ là giá trị cần tìm.

Bài 104879

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104879

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan