|
|
Chúng ta chứng minh bất đẳng thức ở đầu bài bằng phương pháp quy nạp toán học.
-Với $n=2$, đặt:
$2x=b+c-a>0, 2y=a-b+c>0, 2z=a+b-c>0$.
Suy ra: $a=y+z, b=z+x, c=x+y$.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$xy^3+yz^3+zx^3-xyz(x+y+z)\geq 0$.
$
\displaystyle \Leftrightarrow xyz[\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-(x+y+z)]\geq 0 (*)$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương, ta có:
$
\displaystyle y+\frac{x^2}{y}\geq 2\sqrt{y\frac{x^2}{y}}=2x$.
Tương tự:
$
\displaystyle x+\frac{z^2}{x}\geq 2z$
$
\displaystyle z+\frac{y^2}{z}\geq 2y$,
Từ đó bất đẳng thức $(*)$ được chứng minh hay bất đẳng thức :
$a^nb(a-b)+b^nc(b-c)+c^na(c-a)\geq 0$ được chứng minh.
-Giả sử bất đẳng thức đúng tới $n$. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b \geq c $.
Theo giả thiết quy nạp,ta có:
$b^nc(b-c)\geq -a^nb(a-b)-c^na(c-a)$
$\Rightarrow b^{n+1}c(b-c) \geq -a^nb^2(a-b)-c^nab(c-a)$
Do đó : $a^{n+1}b(a-b)+b^{n+1}c(b-c)+c^{n+1}a(c-a)$
$\geq a^{n+1}b(a-b)-a^nb^2(a-b)-c^nab(c-a)+c^{n+1}a(c-a)$
$=a^nb(a-b)+b^nc(b-c)+c^na(c-a)\geq 0$.
Vậy bất đẳng thức đúng với $n+1$.
Theo nguyên lí quy nạp, bất đẳng thức đã cho đúng với mọi $n>1$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
|