Bài 104958

Question

Chứng minh với $a$ bất kỳ, $b \ne 0$ phương trình sau luôn có nghiệm $\frac{1}{{x - a}} + \frac{1}{{x + a}} = \frac{1}{b} (1)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 8:50:15 AM

Điều kiện : $x \ne \pm a$
$(1) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {{x^2} - {a^2}} \right) - b\left( {x - a} \right) - b\left( {x + a} \right) = 0    (2)$
+)   Nếu $a = 0$ thì $(2)$ là ${x^2} - 2b{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0$ ( loại) và ${x_2} = 2b \ne 0$ chọn được
$ \Rightarrow (1)$ có nghiệm

+)   Nếu $a \ne 0$, ta có:
           $f(a)=-2ab\neq 0 (3)$
          $f(-a)=+2ab\neq 0 (4)$
$(3), (4)$ chứng tỏ $f\left( a \right),f\left( { - a} \right)$ trái dấu nhau $ \Rightarrow f\left( x \right) = 0$ có nghiệm
Mặt khác nghiệm lại $ \ne \pm a$ ( vì $f\left( { \pm a} \right) \ne 0$) nên $(1)$ có nghiệm.
Vậy với $\forall a, (1)$ đều có nghiệm.

Bài 104958

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104958

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan