|
|
a/ (x+4)(x+1)≤5√x2+5x+28
⇔x2+5x+4<5√x2+5x+28
⇔x2+5x+4≤5√(x2+5x+24)+24
Đặt x2+5x+24=t,t≤−94, được bất phương trình trung gian:
t≤5√t+24
Nếu t≥0⇒t≤5√t+24 luôn đúng.
Nếu t≤0⇒t≤5√t+24
⇔t2≤25t+600⇔−15≤t≤40
Nhưng t≤0⇔−94≤x2+5x+4<0
Với −94≤t<0
⇔{∀x−4<x<−1⇔−4<x<−1
Với {t≥0t≤40⇔{x2+5x+4≥0x2+5x+4≤0
⇔{x≤−4,x≥−1x2+5x−36≤0⇔{x≤−4,x≥−1−9≤x≤4⇔−9≤x≤−4,−1≤x≤4
Hợp nghiệm:−9≤x≤4
b/ √5x2+10x+10≥1−x2−2x
⇔√5(x2+2x)+1≥7−(x2+2x)
Đặt x2+2x=t⇔x2+2x+1−1=t⇔(x+1)2−1=t⇔t≥−1
Được bất phương trình: √5t+1≥7−t
Bất phương trình nghiệm đúng ∀t≥7
Nếu t<7:
⇔5t+1≥49−14t+t2⇔t2−19t+48≤0⇔3≤t≤16
Giao với t<7:3≤t<7
Hợp với t≥7:t≥3
⇒x2+2x≥3⇔x2+2x−3≥0
⇔x≤−3,x≥1
c/ 2x2+4x+3√3−2x−x2>1
⇔2(x2+2x)+3√3−(x2+2x)>1
Đặt x2+2x=t,t≥−1
Được bất phương trình 2t+3√3−t>1⇔3√3−t>1−2t
Nếu t≥12 bất phương trình luôn nghiệm đúng.
Nếu −1≤t<12
3√3−t>1−2t⇔9(3−t)>1−4t+4t2
4t2+5t−26<0⇔−134<t<2
Giao với −1≤t<12 được −1≤t<12
Hợp với t≥12 được t≥−1
x2+2x≥−1⇔x2+2x+1≥0
(x+1)2≥0đúng ∀x
Vậy −3≤x≤1 là nghiệm của bất phương trình .
d/ √x2−x−2+√x2−2x−3≥2√x2−3x−4
Điều kiện:{x2−x−2≥0x2−2x−3≥0x2−3x−4≥0⇔{xnho−1,x≥2x≤−1,x≥3x≤−1,x≥4⇔x≤−1,x≥4
Bất phương trình ⇔√(x+1)(x−2)+√(x+1)(x−3)≥√(x+1)(x−4)
⇔√x+1(√x−2+√x−3)≥2√x+1.√x−4(∗)
Nếu x≥4
(∗)⇔√x−2+√x−3≥2√x−4
⇔x−2+x−3+2√x2−5x+6≥4x−16
⇔2√x2−5x+6≥2x−11
+/ 4≤x≤112⇒2√x2−5x+6≥2x−11 luôn đúng.
+/ x>112 bình phương hai vế:
4(x2−5x+6)≥4x2−44x+121⇔x≥9724⇒s>112
Hợp nghiệm: x≥4
Nếu x≤−1:
√(x+1)(x−2)+√(x+1)(x−3)≥√(x+1)(x−4)
⇔√−x−1(√2−x+√3−x)≥2√(−x−1)(4−x)
⇔√2−x+√3−x≥2√4−x
⇔2−x+3−x+2√x2−5x+6≥16−4x
⇔2√x2−5x+6≥11−2x
Với hai vế đều dương, bình phương hai vế:
4(x2−5x+6)≥121−44x+4x2
x≥9724: không thỏa.
Vậy x≥4 là nghiệm của bất phương trình
|