Bài 105094

Question

Cho phương trình
$(4-6m)\sin^3x+3(2m-1)\sin x+2(m-2)\sin^2x\cos x-(4m-3)\cos x=0$
a) Giải phương trình với $m = 2$
b) Tìm $m$ để phương trình có đúng một nghiệm $x \in [ {0;\frac{\pi }{4}} ]$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/22/2012 9:42:09 AM

a) Với $m = 2$ ta có
        $8{\sin ^3}x - 9{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 5c{\rm{osx}} = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left( {2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}} - 1} \right) - 5\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 4{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}} - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{x}}} \right) - 5\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx}}} \right)\left[ { - 4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 4\sin {\rm{x}}c{\rm{osx}} - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx}}} \right)\left[ { - {{\left( {2c{\rm{osx}} - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}^2} - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)} \right] = 0\\
\Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi     \left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

b) Với $0 \le x \le \frac{\pi }{4}$ ta có $c{\rm{osx}} \ne 0$, chia hai vế phương trình đã cho cho $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x$
và do tổng của các hệ số bằng $0$ ta được
$\left( {tg{\rm{x - 1}}} \right)\left( {t{g^2}x - 2mtg{\rm{x}} + 4m - 3} \right) = 0$
$i){\rm{   tgx - 1 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{tgx = 0 }} \Rightarrow {\rm{x = }}\frac{\pi }{4} \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$
$ii)$ Do $i)$ta tìm $m$ để phương trình   (đặt $t = tg{\rm{x}}$)
${t^2} - 2mt + 4m - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3 = 2m\left({t - 2} \right)$
$ \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{{t^2} - 3}}{{t - 2}} = 2m$ không có nghiệm $t \in \left[ {0;1} \right)$
Ta có $f\left( t \right) = t + 2 + \frac{1}{{t - 2}},{f^'}\left( t \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} \ge 0,t \in \left[ {0;1} \right)$
$ \Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến
$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right)} \left( t \right) = f\left( 0 \right) = \frac{3}{2}$ ; $\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right)} \left( t \right) = f\left( 2 \right) = 2$
Vậy $m$ phải tìm thỏa mãn $2m < \frac{3}{2}$ hoặc $2m \ge 2$ $ \Leftrightarrow m < \frac{3}{4}$ hoặc $m \ge 1$

Bài 105094

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105094

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan