Bài 105205

Question

Giải và biện luận phương trình: $\frac{a-b\cos x}{\sin x}=\frac{2\sqrt{a^2-b^2}\tan y }{1+\tan^2y} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/22/2012 4:37:29 PM

Điều kiện của nghiệm : $x \ne k\pi ,y \ne \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)$
Phương trình đã cho tương đương với
$a - bc{\rm{osx}} = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \sin 2y.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$                    $(1)$

a) ${a^2} - {b^2} < 0 \Leftrightarrow \left| a \right| < \left| b \right|$ : Phương trình $(1)$ vô nghiệm

b) ${a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right|$: Khi đó $(1)$ trở thành $bc{\rm{osx}} = a$
Nếu $b = 0 \Rightarrow a = 0$ nên $(1)$ có nghiệm : $\forall x,y$ thỏa mãn điều kiện nghiệm
Nếu $b \ne 0 $ Hoặc $a = b \Rightarrow c{\rm{osx}} = 1 \Rightarrow x = 2k\pi $ Không thỏa mãn điều kiện nghiệm nên $(1)$ vô nghiệm.

c) ${a^2} - {b^2} > 0 \Leftrightarrow \left| a \right| > \left| b \right|$. Khi đó
$(1) \Leftrightarrow bc{\rm{osx}} + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \sin 2y.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = a$                $(2)$
Ta biết rằng cần và đủ để $(2)$ có nghiệm là:
${b^2} + \left( {{a^2} - {b^2}} \right){\sin ^2}2y \ge {a^2} \Leftrightarrow \left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2y - 1} \right) \ge 0$
$ \Leftrightarrow {\sin ^2}2y - 1 \ge 0$ ( vì ${a^2} - {b^2} > 0$) $ \Leftrightarrow c{\rm{os}}2y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$, thỏa mãn điều kiện nghiệm.
Khi đó $(2)$ trở thành:
$bc{\rm{osx}} + \left( { - 1} \right)\sqrt[k]{{{a^2} - {b^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = a$                    $(3)$
Do $\left| a \right| > \left| b \right| \Rightarrow a \ne 0$
$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \frac{b}{a},\sin \varphi = {\left( { - 1} \right)^k}\frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a}$    ( vì ${\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a}} \right)^2} = 1$)
$(4)$ trở thành $c{\rm{os}}\left( {x - \varphi } \right) = 1 \Rightarrow x = \varphi + 2k\pi         \left( {n \in Z} \right)$ thỏa mãn điều kiện nghiệm.

Đáp số :
${a^2} - {b^2} \le 0,b \ne 0$: Phương trình đã cho vô nghiệm
${a^2} - {b^2} > 0$ : Phương trình đã cho có nghiệm
$x = \varphi + 2n\pi ,y = \frac{\pi }{4} + 2k\frac{\pi }{2}\left( {n,k \in Z} \right)$, trong đó
$c{\rm{os}}\varphi = \frac{b}{a},\sin \varphi = {\left( { - 1} \right)^k}\frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a}$
$a = b = 0$: Phương trình đã cho có nghiệm : $\forall x \ne k\pi ,\forall y \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Bài 105205

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105205

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan