|
|
a.Chứng minh vế trái, ta có:
$\sin{\frac{A}{2}}+ \sin{\frac{B}{2}}+ \sin{\frac{C}{2}}\geq \sin{\frac{A}{2}} \cos {\frac{B}{2}}+ \sin{\frac{B}{2}} \cos{\frac{A}{2}}+ \sin{\frac{C}{2}}$
$=\sin{\frac{A+B}{2}}+ \sin{\frac{C}{2}}= \cos {\frac{C}{2}} +\sin{\frac{C}{2}}$
$=\sqrt{2}\sin({{\frac{C}{2}}+{\frac{\pi}{4}}} )>\sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{4}}=1$.
b. Chứng minh vế phải
xét hàm số $f(x)=\sin x$ với $x\in (0,\frac{\pi}{2})$, ta có:
$f^'(x)=\cos x, f^{''}(x)=-\sin x\leq0, \forall x\in (0,\frac{\pi}{2})$
Vậy hàm số $f(x)=\sin x$ là lồi trên $(0,\frac{\pi}{2})$, do đó: với $\forall \frac{A}{2},\frac{B}{2},\frac{C}{2}\in(0,\frac{\pi}{2})$, ta có:
$ \frac {\displaystyle f(\frac{A}{2})+f(\frac{B}{2})+f(\frac{C}{2})}{3}\leq f\frac{A+B+C}{6}\Leftrightarrow \frac{\displaystyle \sin{\frac{A}{2}}+ \sin{\frac{B}{2}}+ \sin{\frac{C}{2}}}{3}\leq \sin{\frac{\pi}{6}}$
$\Leftrightarrow \sin{\frac{A}{2}}+ \sin{\frac{B}{2}}+ \sin{\frac{C}{2}} \leq \frac{3}{2}$.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.
|