Bài 105452

Question

Chứng minh rằng
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2xdx}{1+\sin^4x}$ và $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2xdx}{1+\cos^4x}$.
a.tính các tích phân $I,J$
b. Chứng minh rằng $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x.\cos x}{(1+\sin^4x)(1+\cos^4x)}dx>\frac{\pi}{12}$

score 0 · Answer 1

a. với tích phân $I$, bằng phép biến đổi $t=\sin^2x\Rightarrow dt=\sin2xdx$.
Đổi cận:
-Với $x=0$ thì $t=0$.
-Với $x=\frac{\pi}{2}$ thì $t=1$
Khi đó : $I=\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+1}=\frac{\pi}{4}$
Tương tự ta cũng được $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2xdx}{1+\cos^4x}=\frac{\pi}{4}$
b.Ta có:
   $\sin^4x+\cos^4x\leq 1\Leftrightarrow 2+\sin^4x+\cos^4x\leq 3$
   $\Rightarrow \frac{\cos x.\sin x}{(1+\sin^4x)(1+\cos^4x)}=\frac{\sin2x}{2(1+\sin^4x)(1+\cos^4x)}$
           $\geq\frac{1}{6}\frac{(1+\sin^4x+1+\cos^4x)\sin2x}{(1+\sin^4x)(1+\cos^4x)}=\frac{1}{6}(\frac{\sin2x}{1+\sin^4x}+\frac{\sin2x}{1+\sin^4x})$.
dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại $x=0$ hoặc $x=\frac{\pi}{2}$, do đó:
    $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x.\cos x}{(1+\sin^4x)(1+\cos^4x)}dx>\frac{1}{6}(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2xdx}{1+\sin^4x}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2xdx}{1+\cos^4x})=\frac{\pi}{12}$

Bài 105452

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105452

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan