Bài 105508

Question

a/

$x^{2- \log_{2 }^{2}{x}- \log_{ 2}{ x^{2} }} - \frac{ 1}{x}>0$
b/

$\log_{0,25 }{|\frac{ 2x+1}{x+3}+ \frac{ 1}{2}|}> \frac{ 1}{2}$
c/

$\log_{ \frac{ 1}{2}}{[ \log_{\frac{ 1}{2} }{\frac{ x^{2} -3x}{x-2}}] }>0$
d/

$\frac{ \log_{0,3 }{|x+2|}}{ x^{2} -4x}<0$

score 0 · Answer 1

a/

$x^{2- \log_{2 }^{2}{x}- \log_{ 2}{ x^{2} }} - \frac{ 1}{x}>0$
Điều kiện:

$x>000, x \neq 1$

$x^{2- \log_{2 }^{2}{x}- \log_{ 2}{ x^{2}} } - \frac{ 1}{x}>0 \Leftrightarrow x^{2- \log_{2 }^{2}{x}- \log_{ 2}{ x^{2} }}> \frac{ 1}{x}$

$\log_{2 }{ x^{2-\log_{2 }^{2}{x}- \log_{ 2}{ x^{2} } }} > \log_{2 }{\left( \frac{ 1}{x} \right) }$

$\Leftrightarrow \left(2-\log_{2 }^{2}{x}- \log_{ 2}{ x^{2} } \right). \log_{ 2}{x} +\log_{2 }{x} >0$

$\Leftrightarrow \log_{2 }{x} \left( 2\log_{2 }^{2}{x}- 2\log_{ 2}{ x }+1 \right) >0$

$\Leftrightarrow \log_{2 }{x} \left( \log_{2 }^{2}{x}- 2\log_{ 2}{ x }-3 \right) <0$
Đặt

$\log_{ 2}{x}=t, \Rightarrow t \left( t^{2}+2t-3 \right) <0$
Xét dấu vế trái

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_{2 }{x} < -3 \\ 0< \log_{2 }{x} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0<x<\frac{ 1}{8} \\ 1<x<2 \end{array} \right.$
b/

$\log_{0,25 }{|\frac{ 2x+1}{x+3}+ \frac{ 1}{2}|}> \frac{ 1}{2}$
Điều kiện:

$\begin{cases} \frac{ 2x+1}{x+3} \neq 0 \\ x+3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -3 \\ x \neq -1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \log_{0,25 }{|\frac{ 2x+1}{x+3}+ \frac{ 1}{2}|}> \frac{ 1}{2}= \log_{0,25} \left( 0,25 \right)^{2}=\log_{ 0,25}{ \left( 0,5 \right)}$

$\Leftrightarrow |\frac{ 2x+1}{x+3}_ \frac{ 1}{2}|< \frac{ 1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{ 2x+1}{x+3}_ \frac{ 1}{2}> - \frac{ 1}{2} \\ \frac{ 2x+1}{x+3}_ \frac{ 1}{2} < \frac{ 1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{ 2x+1}{x+3}+1>0 \\ \frac{ 2x+1}{x+3}<0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{ 3x+4}{x+3}>0 \\ \frac{ 2x+1}{x+3}<0 \end{cases}$

$\begin{cases} x<-3; x>- \frac{ 4}{3} \\ -3<x<- \frac{ 1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow – \frac{ 4}{3}<x<- \frac{ 1}{2}, x \neq -1$

c/

$\log_{ \frac{ 1}{2}}{[ \log_{\frac{ 1}{2} }{\frac{ x^{2} -3x}{x-2}}] }>0$
Điều kiện:

$\begin{cases} \frac{ x^{2} -3x}{x-2}>0 \\ \log_{\frac{ 1}{2} }{\frac{ x^{2} -3x}{x-2}}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{ x^{2} -3x}{x-2}>0 \\ \log_{\frac{ 1}{2} }{\frac{ x^{2} -3x}{x-2}}>0 \\ \frac{ x^{2} -3x}{x-2}>0 \\ \frac{ x^{2} -3x}{x-2}<1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{ x^{2} -3x}{x-2}>0 \\ \frac{ x^{2} -4x+3}{x-2}<0 \end{cases}$
Xét dấu:

$\Rightarrow$ điều kiện

$0<x<1$
Với điều kiện :