Bài 105594

Question

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ và thỏa mãn các điều kiện:
a. $0\leq f(x)\leq 1, \forall x\in [0,1]$
b. $f(x)$ không đồng nhất bằng $0$ hoặc bằng $1$ trên $[0,1]$
Chứng minh rằng nếu $\int\limits_{0}^{1}f(x)dx=C$ thì $\frac{C^2}{2}<\int\limits_{0}^{1}xf(x)dx<C-\frac{C^2}{2} (1)$

score 0 · Answer 1

1. Đặt $F(x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)dt$, thì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và thỏa mãn
$F(0)=0, F(1)=C,   0<C<1$
Vì $f(x)\geq 0 $ nên $F(x)$ là hàm đồng biến suy ra $F(x)\leq F(1)=C    (2)$
Vì $f(1)\leq 1$ nên $F(x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)dt\leq \int\limits_{0}^{x}dt=x       (3)$
Từ $(2),(3)$ suy ra:
       $F(x)\leq \min(x,C)\Leftrightarrow \begin{cases}x ; 0\leq x\leq C \\ F(x)\leq C ; C\leq x\leq 1\end{cases}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
    $F(x)= \min(x, C) =\begin{cases}x ; 0\leq x\leq C \\ C ; C\leq x\leq 1\end{cases}$, điều này mâu thuẫn
Do đó:
    $\int\limits_{0}^{1}F(x)dx=\int\limits_{0}^{C}F(x)dx+\int\limits_{C}^{1}F(x)dx$
                                                  $<\int\limits_{0}^{C}xdx+\int\limits_{C}^{1}Cdx=\frac{C^2}{2}+C(1-C)=C-\frac{C^2}{2}    (4)$
Mặt khác, bằng phép lấy tích phân từng phần ta được :
    $\int\limits_{0}^{1}F(x)dx=xF(x)|_0^1-\int\limits_{0}^{1}xf(x)dx=C-\int\limits_{0}^{1}xf(x)dx    (5)$
Từ $(4),(5)$, suy ra:
    $C-\int\limits_{0}^{1}xf(x)dx<C-\frac{C^2}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}xf(x)dx>\frac{C^2}{2}   (6)$
2. Bằng việc thay hàm số $f(x)$ bởi hàm $1-f(x)$ cho đúng lập luận trên ta được :
              $\int\limits_{0}^{1}x[1-f(x)]dx>\frac{(1-C)^2}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}xf(x)dx<C-\frac{C^2}{2}      (7)$
Từ $(6), (7)$ ta được điều cần chứng minh.

Bài 105594

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105594

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan