Bài 105627

Question

Cho hàm số: $y = \frac{2x^2 + 3x + 1}{x - 1}\,$
$1$. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
$2$. Một lớp học có $20$ học sinh, trong đó có $2$ cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử $3$ người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong $3$ người có ít nhất một cán bộ lớp.

score 0 · Answer 1

$1.$ $y= \frac{2x^2+3x+1}{x-1}=2x+5+\frac{6}{x-1} $
* TXĐ: $D=R \setminus \left\{ {1} \right\} $
* Sự biến thiên:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }y= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\frac{2x+3+\frac{1}{x} }{1-\frac{1}{x} }= + \infty    $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }y=- \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}\frac{2x^2+3x+1}{x-1}= - \infty   $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}y = + \infty $
$\Rightarrow $ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\left[ {y- \left\{ {2x+5} \right\} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\frac{6}{x-1}=0   $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\left[ {y-(2x+5)} \right] =0 $
$\Rightarrow $ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=2x+5$ làm tiệm cận xiên.
$y'=2-\frac{6}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-4x-4}{(x-1)^2} $
$y'=0 \Leftrightarrow x^2-2x-2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=1+\sqrt{3} \\ x= 1- \sqrt{3} \end{gathered} \right. $
BBT:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ; 1- \sqrt{3} )$ và $(1+ \sqrt{3}; + \infty )$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(1- \sqrt{3};1 )$ và $(1; 1- \sqrt{3} )$
Hàm số đạt cực đại tại $x=1-\sqrt{3}, y_{CĐ}=4 \sqrt{3}-7 $
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1+ \sqrt{3}, y_ {CT} = 4 \sqrt{3}+7 $
* Đồ thị:
$ \cap Ox$: $2x^2+3x+1=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-1 \\ x=- \frac{1}{2} \end{gathered} \right. $
Đồ thị hàm số giao với Ox tại $(-1;0); (- \frac{1}{2};0 )$
$\cap Oy$ tại $(0;-1)$
Đồ thị hàm số nhận $I(1;7)$ làm tâm đối xứng.
Vẽ đồ thị:

$2.$
- Số cách cử $1$ cán bộ lớp và $2$ học sinh thường là $C_2^1.C_{18}^2.$
-Số cách cử $2$ cán bộ lớp và $1$ học sinh thường là $C_2^2.C_{18}^1.$
Vậy số cách cử là : $C_2^1.C_{18}^2+C_2^2.C_{18}^1=324$